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Popolare Trigonometria >

(2sin(x)-1)*(sqrt(3)tan(x)+1)>0

Soluzione

(2 sin (x) - 1) \cdot (3 tan (x) + 1) > 0

Soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

Decimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) > 0

Periodicità di

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) : 2 π

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1)

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

sin (x)

con periodicità di

2 π

La periodicità composta è:

= 2 π

Esprimere con sen e cos

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) > 0

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) > 0

Semplificare

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1) : \frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

(2 sin (x) - 1) (3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1)

Moltiplicare

3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )}

= (2 sin (x) - 1) (\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + 1)

Unisci

\frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + 1 : \frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + 1

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) 3}{cos ( x )} + \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) 3 + 1 \cdot cos ( x )}{cos ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} (2 sin (x) - 1)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) 3 + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} > 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )}

per

0 \leq x < 2 π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}, x = \frac{π}{6}

\frac{( 3 sin ( x ) + cos ( x ) ) ( 2 sin ( x ) - 1 )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(3 sin (x) + cos (x)) (2 sin (x) - 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

3 sin (x) + cos (x) = 0 or 2 sin (x) - 1 = 0

3 sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

3 sin (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

3 sin (x) + cos (x) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Semplificare

\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (x) + 1 = 0

3 tan (x) + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 tan (x) + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 tan (x) = - 1

3 tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} : tan (x)

\frac{3 tan ( x )}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= tan (x)

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 sin (x) - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}, x = \frac{π}{6}

Trova i punti non definiti:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Trova le radici del denominatore

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}, \frac{11 π}{6}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

Riassumere in una tabella:

3 sin (x) + cos (x) 2 sin (x) - 1 cos (x) \frac{( 3 s i n ( x ) + c o s ( x ) ) ( 2 s i n ( x ) - 1 )}{c o s ( x )} x = 0 + - + - 0 < x < \frac{π}{6} + - + - x = \frac{π}{6} + 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + + + x = \frac{π}{2} + + 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} + + - - x = \frac{5 π}{6} 00 - 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - - - x = \frac{3 π}{2} - - 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6} - - + + x = \frac{11 π}{6} 0 - + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + - + - x = 2 π + - + -

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} or \frac{3 π}{2} < x < \frac{11 π}{6}

Applicare la periodicità di

(2 sin (x) - 1) (3 tan (x) + 1)

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Esempi popolari

(2cos(x)-1)(2cos(x)+sqrt(2))<0

(2 cos (x) - 1) (2 cos (x) + 2) < 0

2cos(3x-1/2)>= (sqrt(2))/2

2 cos (3 x - \frac{1}{2}) \geq \frac{2}{2}

2cos(x)+sqrt(2)<0

2 cos (x) + 2 < 0

sin(2*x)>= 1

sin (2 \cdot x) \geq 1

-5cos(x)>0

- 5 cos (x) > 0