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Beliebt Trigonometrie >

(sin(2x)(4cos^2(x)-1))/(sin(x))>0

Lösung

\frac{sin ( 2 x ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} > 0

Lösung

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{2 π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{4 π}{3} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.09439 \dots + 2 πn or 4.18879 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 2 x ) ( 4 cos ^{2} ( x ) - 1 )}{sin ( x )} > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{sin ( 2 x ) ( 4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1 )}{sin ( x )} > 0

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x ) ( 4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1 )}{sin ( x )} : \frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )}

\frac{sin ( 2 x ) ( 4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 1 )}{sin ( x )}

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 (1 - sin^{2} (x)) - 1

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Vereinfache

4 - 4 sin^{2} (x) - 1 : - 4 sin^{2} (x) + 3

4 - 4 sin^{2} (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= - 4 sin^{2} (x) + 3

= \frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )}

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )} > 0

Periodizität von

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )} : 2 π

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )}

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

sin (2 x)

mit Periodizität von

\frac{2 π}{2}

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

= 2 π

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )} = 0

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) (- 4 sin^{2} (x) + 3) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (2 x) = 0 or - 4 sin^{2} (x) + 3 = 0

sin (2 x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = \frac{π}{2}, x = π, x = \frac{3 π}{2}

sin (2 x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

Löse

2 x = 0 + 2 πn : x = πn

2 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = πn

x = πn

Löse

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = \frac{π}{2}, x = π, x = \frac{3 π}{2}

- 4 sin^{2} (x) + 3 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

- 4 sin^{2} (x) + 3 = 0, 0 \leq x < 2 π

Löse mit Substitution

- 4 sin^{2} (x) + 3 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 4 u^{2} + 3 = 0

- 4 u^{2} + 3 = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

- 4 u^{2} + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

- 4 u^{2} + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

- 4 u^{2} + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

- 4 u^{2} = - 3

- 4 u^{2} = - 3

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 u^{2} = - 3

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}

Vereinfache

u^{2} = \frac{3}{4}

u^{2} = \frac{3}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{4}, u = - \frac{3}{4}

\frac{3}{4} = \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

- \frac{3}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{3}{4}

Vereinfache

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}, sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

sin (x) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}

sin (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

sin (x) = - \frac{3}{2}, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Kombiniere alle Lösungen

x = 0, x = \frac{π}{2}, x = π, x = \frac{3 π}{2}, x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Da die Gleichung undefiniert ist für:

0, π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}, x = \frac{π}{3}, x = \frac{2 π}{3}, x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}

Finde die unbestimmten Punkte:

x = 0, x = π

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

0, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, π, \frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{3}, \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} < x < π, π < x < \frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

sin (2 x) - 4 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \frac{s i n ( 2 x ) ( - 4 s i n ^{2} ( x ) + 3 )}{s i n ( x )} x = 0 0 + 0 Unbestimmt 0 < x < \frac{π}{3} + + + + x = \frac{π}{3} + 0 + 0 \frac{π}{3} < x < \frac{π}{2} + - + - x = \frac{π}{2} 0 - + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3} - - + + x = \frac{2 π}{3} - 0 + 0 \frac{2 π}{3} < x < π - + + - x = π 0 + 0 Unbestimmt π < x < \frac{4 π}{3} + + - - x = \frac{4 π}{3} + 0 - 0 \frac{4 π}{3} < x < \frac{3 π}{2} + - - + x = \frac{3 π}{2} 0 - - 0 \frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3} - - - - x = \frac{5 π}{3} - 0 - 0 \frac{5 π}{3} < x < 2 π - + - + x = 2 π 0 + 0 Unbestimmt

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

0 < x < \frac{π}{3} or \frac{π}{2} < x < \frac{2 π}{3} or \frac{4 π}{3} < x < \frac{3 π}{2} or \frac{5 π}{3} < x < 2 π

Verwende die Periodizität von

\frac{sin ( 2 x ) ( - 4 sin ^{2} ( x ) + 3 )}{sin ( x )}

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{2 π}{3} + 2 πn or \frac{4 π}{3} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Beliebte Beispiele

cot(x)>cot(1/x)

cot (x) > cot (\frac{1}{x})

(2sin(x)+sqrt(2))/(cos(x))<= 0

\frac{2 sin ( x ) + 2}{cos ( x )} \leq 0

1/2 >cos(x)

\frac{1}{2} > cos (x)

2cos^2(a)-1>=-1/8

2 cos^{2} (a) - 1 \geq - \frac{1}{8}

4sin^2(x)-3<0,-2pi<= x<= 0

4 sin^{2} (x) - 3 < 0, - 2 π \leq x \leq 0