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4sin(x)cos(x)+1<= 0

Solução

4 sin (x) cos (x) + 1 \leq 0

Solução

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Notação de intervalo

[- \frac{5 π}{12} + πn, - \frac{π}{12} + πn]

Decimal

- 1.30899 \dots + πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + πn

Passos da solução

4 sin (x) cos (x) + 1 \leq 0

Usar a seguinte identidade:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Portanto

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} \leq 0

Simplificar

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} : 1 + 2 sin (2 x)

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x)

1 + 2 sin (2 x) \leq 0

Mova

1

para o lado direito

1 + 2 sin (2 x) \leq 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + 2 sin (2 x) - 1 \leq 0 - 1

Simplificar

2 sin (2 x) \leq - 1

2 sin (2 x) \leq - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 sin (2 x) \leq - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} \leq \frac{- 1}{2}

Simplificar

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

Para

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

Trocar lados

2 x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Aplicar a regra

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multiplicar os números:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

Simplificar

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12} : - \frac{5 π}{12}

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12}

Mínimo múltiplo comum de

2, 12 : 12

2, 12

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= - \frac{π 6}{12} + \frac{π}{12}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{12}

Somar elementos similares:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{12}

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq - \frac{π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte propriedade:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplificar

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplificar

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{12} + πn

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multiplicar os números:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

Combinar os intervalos

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn and x \leq - \frac{π}{12} + πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Exemplos populares

5-5cos^2(x)+2cos(x)>= 0,0<= x<2pi

5 - 5 cos^{2} (x) + 2 cos (x) \geq 0, 0 \leq x < 2 π

2+cos^2(x)+sin(x)>0

2 + cos^{2} (x) + sin (x) > 0

2sin^2(x)-1>0

2 sin^{2} (x) - 1 > 0

10<5sin(pi/6 (x+2))+6

10 < 5 sin (\frac{π}{6} (x + 2)) + 6

arctan(1-|x|)<= 1/2

arctan (1 - ∣ x ∣) \leq \frac{1}{2}