English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

((4*cos^2(x)-3))/((sin(x)+cos(x)+5))<0

פתרון

\frac{( 4 \cdot cos ^{2} ( x ) - 3 )}{( sin ( x ) + cos ( x ) + 5 )} < 0

פתרון

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

סימון מרווחים

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn) \cup (\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

עשרוני

0.52359 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn or 3.66519 \dots + 2 πn < x < 5.75958 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

\frac{4 cos ^{2} ( x ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:השתמש בזהות הבאה

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

לכן

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

פשט את:

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{4 ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) - 3}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3

הרחב את:

- 4 sin^{2} (x) + 1

4 (1 - sin^{2} (x)) - 3

4 (1 - sin^{2} (x))

הרחב את:

4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

4 \cdot 1 = 4 :

הכפל את המספרים

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= 4 - 4 sin^{2} (x) - 3

4 - 4 sin^{2} (x) - 3

פשט את:

- 4 sin^{2} (x) + 1

4 - 4 sin^{2} (x) - 3

קבץ ביטויים דומים יחד

= - 4 sin^{2} (x) + 4 - 3

4 - 3 = 1 :

חסר/חבר את המספרים

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) + 1

= \frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} < 0

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

מחזוריות של:

2 π

:

מורכבת מהפונקציות ומחזוריות הבאים

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

2 π

עם מחזוריות של

sin (x)

:

המחזוריות המורכבת של הפונקציות היא

= 2 π

Find the zeroes and undifined points of

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5}

for

0 \leq x < 2 π

To find the zeroes, set the inequality to zero

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

sin (x) = u :

נניח ש

- 4 u^{2} + 1 = 0

- 4 u^{2} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

- 4 u^{2} + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

- 4 u^{2} + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

- 4 u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

- 4 u^{2} = - 1

- 4 u^{2} = - 1

- 4

חלק את שני האגפים ב

- 4 u^{2} = - 1

- 4

חלק את שני האגפים ב

\frac{- 4 u ^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}

פשט

u^{2} = \frac{1}{4}

u^{2} = \frac{1}{4}

x = f (a), - f (a)

הפתרונות הם

x^{2} = f (a)

עבור

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

1 = 1

הפעל את החוק

= \frac{1}{2}

- \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}

- \frac{1}{4}

\frac{1}{4}

פשט את:

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

= - \frac{1}{2}

1 = 1

הפעל את החוק

= - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

sin (x) = \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

0 \leq x < 2 π :

פתרונות עבור הטווח

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π : x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

sin (x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x < 2 π

sin (x) = - \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

0 \leq x < 2 π :

פתרונות עבור הטווח

x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

אחד את הפתרונות

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = \frac{7 π}{6}, x = \frac{11 π}{6}

Find the undefined points:

אין פתרון

Find the zeros of the denominator

sin (x) + cos (x) + 5 = 0

Rewrite using trig identities

sin (x) + cos (x) + 5

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

כתוב מחדש בתור

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} :

השתמש בזהות הבסיסית הבאה

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} :

השתמש בזהות הבסיסית הבאה

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

:הפעל זהות של סכום זוויות

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 5 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

לצד ימין

5

העבר

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

משני האגפים

5

החסר

5 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 5 = 0 - 5

פשט

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

2

חלק את שני האגפים ב

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 5

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

פשט

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 5}{2}

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

פשט את:

sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= sin (x + \frac{π}{4})

\frac{- 5}{2}

פשט את:

- \frac{5 2}{2}

\frac{- 5}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{5}{2}

- \frac{5}{2}

הפוך לרציונלי:

- \frac{5 2}{2}

- \frac{5}{2}

\frac{2}{2}

הכפל בצמוד

= - \frac{5 2}{2 2}

22 = 2

22

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

22 = 2

= 2

= - \frac{5 2}{2}

= - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{5 2}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

x \in R אין פתרון ל

\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

זהה את הטווחים השונים

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} < x < 2 π

סכם בטבלה

- 4 sin^{2} (x) + 1 sin (x) + cos (x) + 5 \frac{- 4 s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x ) + c o s ( x ) + 5} x = 0 + + + 0 < x < \frac{π}{6} + + + x = \frac{π}{6} 0 + 0 \frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} - + - x = \frac{5 π}{6} 0 + 0 \frac{5 π}{6} < x < \frac{7 π}{6} + + + x = \frac{7 π}{6} 0 + 0 \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6} - + - x = \frac{11 π}{6} 0 + 0 \frac{11 π}{6} < x < 2 π + + + x = 2 π + + +

< 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6} or \frac{7 π}{6} < x < \frac{11 π}{6}

\frac{- 4 sin ^{2} ( x ) + 1}{sin ( x ) + cos ( x ) + 5} :

השתמש במזוריות של

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn or \frac{7 π}{6} + 2 πn < x < \frac{11 π}{6} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

1/2 <= sin(x),cos(x)<= (sqrt(2))/2

\frac{1}{2} \leq sin (x), cos (x) \leq \frac{2}{2}

sin(θ)<= pi/6

sin (θ) \leq \frac{π}{6}

tan(x)>= sin(x)

tan (x) \geq sin (x)

1<= tan(x)

1 \leq tan (x)

sin(9x^2)>0

sin (9 x^{2}) > 0