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sin(x)cos(x)>0

Lösung

sin (x) cos (x) > 0

πn < x < \frac{π}{2} + πn

Intervall-Notation

(πn, \frac{π}{2} + πn)

Dezimale

πn < x < 1.57079 \dots + πn

Schritte zur Lösung

sin (x) cos (x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Deshalb

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

\frac{sin ( 2 x )}{2} > 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} > 0

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} > 0 \cdot 2

Vereinfache

sin (2 x) > 0

sin (2 x) > 0

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < 2 x < π - arcsin (0) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arcsin (0) + 2 πn < 2 x and 2 x < π - arcsin (0) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < 2 x : x > πn

arcsin (0) + 2 πn < 2 x

Tausche die Seiten

2 x > arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) + 2 πn : 2 πn

arcsin (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

= 2 πn

2 x > 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x > 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} > \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x > πn

x > πn

2 x < π - arcsin (0) + 2 πn : x < \frac{π}{2} + πn

2 x < π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

π - arcsin (0) + 2 πn : π + 2 πn

π - arcsin (0) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0 + 2 πn

π - 0 + 2 πn = π + 2 πn

= π + 2 πn

2 x < π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x < π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} < \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x < \frac{π}{2} + πn

x < \frac{π}{2} + πn

Kombiniere die Bereiche

x > πn and x < \frac{π}{2} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

πn < x < \frac{π}{2} + πn

cos (x) + sin (x) > 0

2 cos (2 x) < 1

12 cos (2 x) < 0

0.86 \leq cos^{2 (9)} (\frac{68}{n})

cos (x) \leq 1 + sin (x)