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Popular Trigonometria >

2cos^2(x)+cos(x)>0

Solução

2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

Solução

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Notação de intervalo

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn)

Decimal

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.09439 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn

Passos da solução

2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

Sea:

u = cos (x)

2 u^{2} + u > 0

2 u^{2} + u > 0 : u < - \frac{1}{2} or u > 0

2 u^{2} + u > 0

Fatorar

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u + 1)

u (2 u + 1) > 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

u (2 u + 1)

Encontre os sinais de

u

u = 0

u < 0

u > 0

Encontre os sinais de

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 < 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplificar

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u < - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Simplificar

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 > 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplificar

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u > - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Simplificar

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Resumir em uma tabela:

u 2 u + 1 u (2 u + 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} - 00 - \frac{1}{2} < u < 0 - + - u = 0 0 + 0 u > 0 + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

> 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

u < - \frac{1}{2} or u > 0

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) < - \frac{1}{2} or cos (x) > 0

cos (x) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) < - \frac{1}{2}

Para

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Simplificar

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Simplificar

2 π - \frac{2 π}{3}

Converter para fração:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Somar elementos similares:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) > 0 : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) > 0

Para

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar os intervalos

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

Exemplos populares

tan(2x)<= sqrt(3)

tan (2 x) \leq 3

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{( 3 cos ^{2} ( θ ) + 1 )} \geq \frac{16}{45}

cos(2t)>=-1/2

cos (2 t) \geq - \frac{1}{2}

-(-1-cos(t))>0

- (- 1 - cos (t)) > 0

cos(x/2)>0

cos (\frac{x}{2}) > 0