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Populaire Trigonométrie >

sec(x)<= cos(x)

Solution

sec (x) \leq cos (x)

Solution

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

La notation des intervalles

(\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Décimale

1.57079 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

étapes des solutions

sec (x) \leq cos (x)

Déplacer

cos (x)

vers la gauche

sec (x) \leq cos (x)

Soustraire

cos (x)

des deux côtés

sec (x) - cos (x) \leq cos (x) - cos (x)

sec (x) - cos (x) \leq 0

sec (x) - cos (x) \leq 0

Périodicité de

sec (x) - cos (x) : 2 π

La périodicité composée de la somme des fonctions périodiques est le plus petit commun multiple des périodes

sec (x), cos (x)

Périodicité de

sec (x) : 2 π

La périodicité de

sec (x)

est

2 π

= 2 π

Périodicité de

cos (x) : 2 π

La périodicité de

cos (x)

est

2 π

= 2 π

Combiner des périodes :

2 π, 2 π

= 2 π

Exprimer avec sinus, cosinus

sec (x) - cos (x) \leq 0

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

Simplifier

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) : \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x)

Convertir un élément en fraction:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

1 - cos (x) cos (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Trouver les points zéros et les points non définis de

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

pour

0 \leq x < 2 π

Pour trouver les points zéros, définir l'inégalité à zéro

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

Résoudre par substitution

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

Soit :

cos (x) = u

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0 : u = 1, u = - 1

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - u^{2} = 0

Résoudre

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - u^{2} = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplifier

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

- u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplifier

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{1 - u ^{2}}{u}

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = 0

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π : x = π

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = π

Combiner toutes les solutions

x = 0, x = π

Trouver les points non définis:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Trouver les zéros du dénominateur

cos (x) = 0

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Solutions pour la plage

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identifier les intervalles

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Récapituler dans un tableau:

1 - cos^{2} (x) cos (x) \frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{π}{2} < x < π + - - x = π 0 - 0 π < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 Ind \overset{e}{ˊ} fini \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π 0 + 0

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π or x = π or π < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0

\frac{π}{2} < x < π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π

x = π

x = 0 or \frac{π}{2} < x \leq π

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0 or \frac{π}{2} < x \leq π

π < x < \frac{3 π}{2}

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

x = 2 π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

Appliquer la périodicité de

sec (x) - cos (x)

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Exemples populaires

-sin(2x)>0

- sin (2 x) > 0

sin((n*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{n \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

6-3cos((pit)/2)>6

6 - 3 cos (\frac{π t}{2}) > 6

(10pi)/9 <= arctan(θ)

\frac{10 π}{9} \leq arctan (θ)

cos(x)-1>=-2

cos (x) - 1 \geq - 2