English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(2x)-cos(x)>0

פתרון

cos (2 x) - cos (x) > 0

פתרון

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

סימון מרווחים

(\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn)

עשרוני

2.09439 \dots + 2 πn < x < 4.18879 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

cos (2 x) - cos (x) > 0

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

:השתמש בזהות הבאה

- 1 + 2 cos^{2} (x) - cos (x) > 0

u = cos (x) :

נניח ש

- 1 + 2 u^{2} - u > 0

- 1 + 2 u^{2} - u > 0 : u < - \frac{1}{2} or u > 1

- 1 + 2 u^{2} - u > 0

- 1 + 2 u^{2} - u

פרק לגורמים את:

(2 u + 1) (u - 1)

- 1 + 2 u^{2} - u

a x^{2} + b x + c

כתוב בצורה הסטנדרטית

= 2 u^{2} - u - 1

חלק הביטוי לקבוצות

2 u^{2} - u - 1

הגדרה

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק לגורמים אינו אפשרי

2

= 2

Add 1

1

2

המחלקים של

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = - 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

נכוןCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

לא נכון

u = 1, v = - 2

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

u

הוצא את הגורם

2 u^{2} + u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 2 uu + u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (2 u + 1)

- (2 u + 1)

- 2 u - 1

- 1

הוצא את הגורם

- 2 u - 1

- 1

הוצא את הגורם המשותף

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

2 u + 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 u + 1) (u - 1)

(2 u + 1) (u - 1) > 0

זהה את הטווחים השונים

(2 u + 1) (u - 1)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 u + 1

:חשב את הסימן עבור

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

2 u = - 1

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

פשט

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 < 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

פשט

2 u < - 1

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

פשט

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u + 1 > 0

משני האגפים

1

החסר

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

פשט

2 u > - 1

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

פשט

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

u - 1

:חשב את הסימן עבור

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

u > 1

u > 1

סכם בטבלה

2 u + 1 u - 1 (2 u + 1) (u - 1) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

> 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u < - \frac{1}{2} or u > 1

u < - \frac{1}{2} or u > 1

u < - \frac{1}{2} or u > 1

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) < - \frac{1}{2} or cos (x) > 1

cos (x) < - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) < - \frac{1}{2}

For

cos (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2})

פשט את:

\frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

פשט את:

\frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

פשט

2 π - \frac{2 π}{3}

2 π = \frac{2 π 3}{3}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

2 \cdot 3 = 6 :

הכפל את המספרים

= 6 π - 2 π

6 π - 2 π = 4 π :

חבר איברים דומים

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) > 1 : x \in R

לא מתקיים לכל

cos (x) > 1

cos (x)

הטווח של:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

הגדרת טווח הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

היא

cos

התמונה של הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > 1 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

לא נכון

y = cos (x)

החלף

אחד את הטווחים

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

מזג טווחים חופפים

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

y > 1

וגם

- 1 \leq y \leq 1

y \in R לא מתקיים לכל

y \in R לא מתקיים לכל

x \in R אין פתרון ל

x \in R לא מתקיים לכל

אחד את הטווחים

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn or x \in R לא מתקיים לכל

מזג טווחים חופפים

\frac{2 π}{3} + 2 πn < x < \frac{4 π}{3} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

1-sin(x)<1

1 - sin (x) < 1

8+4sin(pi/6 (x))>= 8

8 + 4 sin (\frac{π}{6} (x)) \geq 8

-sin(N)<0.1

- sin (N) < 0.1

cos(θ)>= (sqrt(3))/2 ,2pi>θ>= 0

cos (θ) \geq \frac{3}{2}, 2 π > θ \geq 0

sin^2(θ)<= cos^2(θ)

sin^{2} (θ) \leq cos^{2} (θ)