English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

(2sin^2(x))/(sin(x)-1)<-1

الحلّ

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

الحلّ

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

عشري

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1 : u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

Rewrite in standard form

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

للطرفين

1

أضف

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < - 1 + 1

بسّط

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < 0

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1

بسّط:

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1

1 = \frac{1 ( u - 1 )}{u - 1}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{2 u ^{2}}{u - 1} + \frac{1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{2 u ^{2} + 1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

1 \cdot (u - 1) = u - 1

1 \cdot (u - 1)

1 \cdot (u - 1) = (u - 1) :

اضرب

= (u - 1)

(a) = a

:احذف الأقواس

= u - 1

= \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

حلل إلى عوامل:

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

2 u^{2} + u - 1

حلل إلى عوامل:

(2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

قسّم التعابير لمجموعات

2 u^{2} + u - 1

تعريف

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

Add 1

1

2

قواسم

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

خطأCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

صحيح

u = 2, v = - 1

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

من

u

اخرج العامل

2 u^{2} - u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 2 uu - u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

2 u - 1

قم باخراج العامل المشترك

= (2 u - 1) (u + 1)

= \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} < 0

ميّز المقاطع المختلفة

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

:جد إشارة كل واحد من عوامل

2 u - 1

:جد إشارة

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 u = 1

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

2 u < 1

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

بسّط

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

2 u > 1

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

بسّط

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u + 1

:جد إشارة

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

u > - 1

u > - 1

u - 1

:جد إشارة

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

u > 1

u > 1

Find singularity points

Find the zeros of the denominator

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

u = 1

u = 1

لخّص في جدول

2 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} u < - 1 - - - - u = - 1 - 0 - 0 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - + u = \frac{1}{2} 0 + - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + + - - u = 1 + + 0 غير معرّف u > 1 + + + +

< 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) < - 1 or \frac{1}{2} < sin (x) < 1

sin (x) < - 1 : x \in R

لا يتحقّق لكلّ

sin (x) < - 1

sin (x)

المدى لـ:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

تعريف مدى دالّة

- 1 \leq sin (x) \leq 1

هي

sin

صورة الدالّة

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

خطأ

y = sin (x)

استبدل

وحّد المقاطع

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

ادمج المجالات المتطابقة

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

تقاطع مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بكلا المجالين معًا

y < - 1

וגם

- 1 \leq y \leq 1

y \in R لا يتحقّق لكلّ

y \in R لا يتحقّق لكلّ

x \in R لا يوجد حلّ لـ

x \in R لا يتحقّق لكلّ

\frac{1}{2} < sin (x) < 1 : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x) < 1

a < u and u < b

إذًا

a < u < b

إذا تحقّق أنّ

\frac{1}{2} < sin (x) and sin (x) < 1

\frac{1}{2} < sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x)

بدّل الأطراف

sin (x) > \frac{1}{2}

For

sin (x) > a

, if

- 1 \leq a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

بسّط

π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 6 - π}{6}

6 π - π = 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

For

sin (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

- π - arcsin (1)

بسّط:

- \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

بسّط

- π - \frac{π}{2}

π = \frac{π 2}{2}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 2 - π}{2}

- 2 π - π = - 3 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- 3 π}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

arcsin (1)

بسّط:

\frac{π}{2}

arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

وحّد المقاطع

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

وحّد المقاطع

x \in R لا يتحقّق لكلّ or (\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn)

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

أمثلة شائعة

pi/2-arctan(e^x)>0.0001

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) > 0.0001

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot(pi-x)<-1

cot (π - x) < - 1