English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

(sin(x)-1/2)(sin(x)-7/2)<= 0

פתרון

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

פתרון

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

סימון מרווחים

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

עשרוני

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

(sin (x) - \frac{1}{2}) (sin (x) - \frac{7}{2}) \leq 0

u = sin (x) :

נניח ש

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

שכתב בצורה סטנדרטית

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2}) \leq 0

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2})

הרחב את:

u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

(u - \frac{1}{2}) (u - \frac{7}{2})

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

הפעל חוק הפילוג

a = u, b = - \frac{1}{2}, c = u, d = - \frac{7}{2}

= uu + u (- \frac{7}{2}) + (- \frac{1}{2}) u + (- \frac{1}{2}) (- \frac{7}{2})

הפעל חוקי מינוס-פלוס

+ (- a) = - a, (- a) (- b) = ab

= uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

פשט את:

u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

uu - \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u = - 4 u :

חבר איברים דומים

- \frac{7}{2} u - \frac{1}{2} u

u

הוצא את הגורם המשותף

= u (- \frac{7}{2} - \frac{1}{2})

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = - 4

- \frac{7}{2} - \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{- 7 - 1}{2}

- 7 - 1 = - 8 :

חסר את המספרים

= \frac{- 8}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{8}{2}

\frac{8}{2} = 4 :

חלק את המספרים

= - 4

= - 4 u

= uu - 4 u + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

uu = u^{2}

uu

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= u^{2}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 2}

פשט

= \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

= u^{2} - 4 u + \frac{7}{4}

u^{2} - 4 u + \frac{7}{4} \leq 0

4

הכפל את שני האגפים ב

u^{2} \cdot 4 - 4 u \cdot 4 + \frac{7}{4} \cdot 4 \leq 0 \cdot 4

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

4 u^{2} - 16 u + 7 \leq 0

4 u^{2} - 16 u + 7

פרק לגורמים את:

(2 u - 1) (2 u - 7)

4 u^{2} - 16 u + 7

חלק הביטוי לקבוצות

4 u^{2} - 16 u + 7

הגדרה

Factors of

28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28

28

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

28 : 2, 2, 7

28

28 = 14 \cdot 2, 2

מתחלק ב

28

= 2 \cdot 14

14 = 7 \cdot 2, 2

מתחלק ב

14

= 2 \cdot 2 \cdot 7

מורכב ממספרים ראשוניים בלבד, לכו פירוק נוסף אינו אפשרי

2, 7

= 2 \cdot 2 \cdot 7

Multiply the prime factors of

28 : 4, 14

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 7 = 14

4, 14

4, 14

Add the prime factors:

2, 7

Add 1 and the number

28

itself

1, 28

28

המחלקים של

1, 2, 4, 7, 14, 28

Negative factors of

28 : - 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 4, - 7, - 14, - 28

For every two factors such that

u * v = 28,

check if

u + v = - 16

Check

u = 1, v = 28 : u * v = 28, u + v = 29 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = 14 : u * v = 28, u + v = 16 \Rightarrow

לא נכון

u = - 2, v = - 14

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

= (4 u^{2} - 2 u) + (- 14 u + 7)

2 u (2 u - 1)

4 u^{2} - 2 u

2 u

הוצא את הגורם

4 u^{2} - 2 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} = uu

= 4 uu - 2 u

2 \cdot 2

בתור

4

כתוב מחדש את

= 2 \cdot 2 uu - 2 u

2 u

הוצא את הגורם המשותף

= 2 u (2 u - 1)

- 7 (2 u - 1)

- 14 u + 7

- 7

הוצא את הגורם

- 14 u + 7

7 \cdot 2

בתור

14

כתוב מחדש את

= - 7 \cdot 2 u + 7

- 7

הוצא את הגורם המשותף

= - 7 (2 u - 1)

= 2 u (2 u - 1) - 7 (2 u - 1)

2 u - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (2 u - 1) (2 u - 7)

(2 u - 1) (2 u - 7) \leq 0

זהה את הטווחים השונים

(2 u - 1) (2 u - 7)

:חשב את הסימן לכל אחד מהגורמים עבור

2 u - 1

:חשב את הסימן עבור

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

2 u = 1

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

פשט

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 < 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

פשט

2 u < 1

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

פשט

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

לצד ימין

1

העבר

2 u - 1 > 0

לשני האגפים

1

הוסף

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

פשט

2 u > 1

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

פשט

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

2 u - 7

:חשב את הסימן עבור

2 u - 7 = 0 : u = \frac{7}{2}

2 u - 7 = 0

לצד ימין

7

העבר

2 u - 7 = 0

לשני האגפים

7

הוסף

2 u - 7 + 7 = 0 + 7

פשט

2 u = 7

2 u = 7

2

חלק את שני האגפים ב

2 u = 7

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} = \frac{7}{2}

פשט

u = \frac{7}{2}

u = \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0 : u < \frac{7}{2}

2 u - 7 < 0

לצד ימין

7

העבר

2 u - 7 < 0

לשני האגפים

7

הוסף

2 u - 7 + 7 < 0 + 7

פשט

2 u < 7

2 u < 7

2

חלק את שני האגפים ב

2 u < 7

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} < \frac{7}{2}

פשט

u < \frac{7}{2}

u < \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0 : u > \frac{7}{2}

2 u - 7 > 0

לצד ימין

7

העבר

2 u - 7 > 0

לשני האגפים

7

הוסף

2 u - 7 + 7 > 0 + 7

פשט

2 u > 7

2 u > 7

2

חלק את שני האגפים ב

2 u > 7

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 u}{2} > \frac{7}{2}

פשט

u > \frac{7}{2}

u > \frac{7}{2}

סכם בטבלה

2 u - 1 2 u - 7 (2 u - 1) (2 u - 7) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} + - - u = \frac{7}{2} + 00 u > \frac{7}{2} + + +

\leq 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

מזג טווחים חופפים

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2} or u = \frac{7}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

u = \frac{1}{2}

או

\frac{1}{2} < u < \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

האיחוד של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים באחד הטווחים

\frac{1}{2} \leq u < \frac{7}{2}

או

u = \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq u \leq \frac{7}{2}

u = sin (x)

החלף בחזרה

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq \frac{7}{2}

a \leq u and u \leq b

אז

a \leq u \leq b

אם

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq \frac{7}{2}

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

הפוך את האגפים

sin (x) \geq \frac{1}{2}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

פשט את:

\frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

השתמש בזהות הבסיסית הבאה:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

פשט

π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{π 6 - π}{6}

6 π - π = 5 π :

חבר איברים דומים

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{7}{2} : x \in R

מתקיים לכל

sin (x) \leq \frac{7}{2}

sin (x)

הטווח של:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

הגדרת טווח הפונקציה

- 1 \leq sin (x) \leq 1

היא

sin

התמונה של הפונקציה

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

y = sin (x)

החלף

אחד את הטווחים

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

מזג טווחים חופפים

y \leq \frac{7}{2} and - 1 \leq y \leq 1

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

y \leq \frac{7}{2}

וגם

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

מתקיים לכל x

x \in R מתקיים לכל

אחד את הטווחים

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and x \in R מתקיים לכל

מזג טווחים חופפים

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

דוגמאות פופולריות

sin(x)-2<=-5/2

sin (x) - 2 \leq - \frac{5}{2}

tan(1/x)<= tan(1/(x+1))

tan (\frac{1}{x}) \leq tan (\frac{1}{x + 1})

cos(x^4)+sin(x^4)>= 0.5

cos (x^{4}) + sin (x^{4}) \geq 0.5

1-tan(x)<2

1 - tan (x) < 2

2sin(x)-1>=-3

2 sin (x) - 1 \geq - 3