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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)-3cos(x)-2>= 0

Lösung

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0

Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

Intervall-Notation

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

Dezimale

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0

Angenommen:

u = cos (x)

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0

Faktorisiere

2 u^{2} - 3 u - 2 : (2 u + 1) (u - 2)

2 u^{2} - 3 u - 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} - 3 u - 2

Definition

Faktoren von

4 : 1, 2, 4

4

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

4 : 2, 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2

Addiere alle Primfaktoren.

2

Addiere 1 und die Zahl

4

selbst

1, 4

Die Faktoren von

4

1, 2, 4

Negative Faktoren von

4 : - 1, - 2, - 4

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 4

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 4,

prüfe, ob

u + v = - 3

Prüfe

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 4

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 4 u - 2)

= (2 u^{2} + u) + (- 4 u - 2)

Klammere

u

aus

2 u^{2} + u

aus

: u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u + 1)

Klammere

- 2

aus

- 4 u - 2

aus

: - 2 (2 u + 1)

- 4 u - 2

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= - 2 \cdot 2 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - 2 (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 2)

(2 u + 1) (u - 2) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u + 1) (u - 2)

Finde die Vorzeichen von

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 u < - 1

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 u > - 1

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 < 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 < 0 + 2

Vereinfache

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 > 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 > 0 + 2

Vereinfache

u > 2

u > 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u + 1 u - 2 (2 u + 1) (u - 2) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 2 or u > 2

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2 or u > 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < - \frac{1}{2}

oder

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - \frac{1}{2}

oder

u = 2

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2

oder

u > 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

Vereinfache

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

Vereinfache

2 π - \frac{2 π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

Addiere gleiche Elemente:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) \geq 2

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq 2

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos((x-45))< 1/2 ,0<= x<= 360

cos ((x - 45)^{\circ}) < \frac{1}{2}, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)<= (sqrt(2))/2

cos (x) \leq \frac{2}{2}

cos(φ)<= (sqrt(2))/2

cos (φ) \leq \frac{2}{2}

2cos(y)>0

2 cos (y) > 0

cos(2x)<=-(sqrt(3))/2

cos (2 x) \leq - \frac{3}{2}