English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

cos(x)-1/2 cos(2x)<0

פתרון

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

פתרון

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

סימון מרווחים

(arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn)

עשרוני

1.94553 \dots + 2 πn < x < 4.33765 \dots + 2 πn

צעדי פתרון

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) < 0

cos (2 x) = - 1 + 2 cos^{2} (x)

:השתמש בזהות הבאה

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2} < 0

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2}

פשט את:

cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) - (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \frac{1}{2}

= cos (x) - \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

הרחב את:

\frac{1}{2} - cos^{2} (x)

- \frac{1}{2} (- 1 + 2 cos^{2} (x))

a (b + c) = ab + a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - \frac{1}{2}, b = - 1, c = 2 cos^{2} (x)

= - \frac{1}{2} (- 1) + (- \frac{1}{2}) \cdot 2 cos^{2} (x)

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

פשט את:

\frac{1}{2} - cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} :

הכפל

= \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

2 \cdot \frac{1}{2} cos^{2} (x)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot 2}{2} cos^{2} (x)

2 :

בטל את הגורמים המשותפים

= cos^{2} (x) \cdot 1

cos^{2} (x) \cdot 1 = cos^{2} (x) :

הכפל

= cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

= cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x)

cos (x) + \frac{1}{2} - cos^{2} (x) < 0

u = cos (x) :

נניח ש

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0 : u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

שכתב בצורה סטנדרטית

u + \frac{1}{2} - u^{2} < 0

2

הכפל את שני האגפים ב

u \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 - u^{2} \cdot 2 < 0 \cdot 2

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

2 u + 1 - 2 u^{2} < 0

2 u + 1 - 2 u^{2}

השלמה לריבוע:

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

2 u + 1 - 2 u^{2}

a x^{2} + b x + c

כתוב בצורה הסטנדרטית

- 2 u^{2} + 2 u + 1

x^{2} + 2 a x + a^{2} :

בצורה של

- 2 u^{2} + 2 u + 1

כתוב את

- 2

הוצא את הגורם

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2})

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 a = - 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

פשט

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

הוסף והחסר

- 2 (u^{2} - u - \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- 2 ((u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

פשט

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

לצד ימין

\frac{3}{2}

העבר

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} < 0

משני האגפים

\frac{3}{2}

החסר

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} < 0 - \frac{3}{2}

פשט

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

- 1

הכפל את שני האגפים ב

- 2 (u - \frac{1}{2})^{2} < - \frac{3}{2}

והפוך את סימן אי-השוויון

- 1

הכפל את שני האגפים ב

(- 2 (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) > (- \frac{3}{2}) (- 1)

פשט

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

2

חלק את שני האגפים ב

2 (u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{2}

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

פשט

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2} > \frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

פשט את:

(u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{2 ( u - \frac{1}{2} ) ^{2}}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= (u - \frac{1}{2})^{2}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

פשט את:

\frac{3}{4}

\frac{\frac{3}{2}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{3}{2 \cdot 2}

2 \cdot 2 = 4 :

הכפל את המספרים

= \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} > \frac{3}{4}

For

u^{n} > a

, if

n

is even then

u < - n a or u > n a

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} or u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4} : u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{4}

\frac{3}{4}

פשט את:

\frac{3}{2}

\frac{3}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

לצד ימין

\frac{1}{2}

העבר

u - \frac{1}{2} < - \frac{3}{2}

לשני האגפים

\frac{1}{2}

הוסף

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

פשט

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

פשט את:

u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0 :

חבר איברים דומים

= u

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

פשט את:

\frac{- 3 + 1}{2}

- \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4} : u > \frac{3 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

a \geq 0, b \geq 0

בהנחה ש

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}

:הפעל את חוק השורשים

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{4}

4 = 2

4

4 = 2^{2} :

פרק את המספר לגורמים הראשוניים שלו

= 2^{2}

n a^{n} = a

:הפעל את חוק השורשים

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

לצד ימין

\frac{1}{2}

העבר

u - \frac{1}{2} > \frac{3}{2}

לשני האגפים

\frac{1}{2}

הוסף

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

פשט

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > \frac{3}{2} + \frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

פשט את:

u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0 :

חבר איברים דומים

= u

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

פשט את:

\frac{3 + 1}{2}

\frac{3}{2} + \frac{1}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

הפעל את החוק

= \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

u > \frac{3 + 1}{2}

אחד את הטווחים

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u < \frac{- 3 + 1}{2} or u > \frac{3 + 1}{2}

u = cos (x)

החלף בחזרה

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} or cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2} : arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) < \frac{- 3 + 1}{2}

For

cos (x) < a

, if

- 1 < a \leq 1

then

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} : x \in R

לא מתקיים לכל

cos (x) > \frac{3 + 1}{2}

cos (x)

הטווח של:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

הגדרת טווח הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

היא

cos

התמונה של הפונקציה

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

לא נכון

y = cos (x)

החלף

אחד את הטווחים

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

מזג טווחים חופפים

y > \frac{3 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

החיתוך של שני טווחים הוא סט המספרים אשר נמצאים בשני הטווחים

y > \frac{3 + 1}{2}

וגם

- 1 \leq y \leq 1

y \in R לא מתקיים לכל

y \in R לא מתקיים לכל

x \in R אין פתרון ל

x \in R לא מתקיים לכל

אחד את הטווחים

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn or x \in R לא מתקיים לכל

מזג טווחים חופפים

arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{- 3 + 1}{2}) + 2 πn

דוגמאות פופולריות

cot(θ)<sqrt(3)

cot (θ) < 3

cos(2x)<= sin(x)

cos (2 x) \leq sin (x)

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0

sec(x)<= sqrt(2)

sec (x) \leq 2