English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

cos(2x)<= sin(x)

الحلّ

cos (2 x) \leq sin (x)

الحلّ

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or x = - \frac{π}{2} + 2 πn

تدوين الفاصل الزمني

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn] \cup x = - \frac{π}{2} + 2 πn

عشري

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn or x = - 1.57079 \dots + 2 πn

خطوات الحلّ

cos (2 x) \leq sin (x)

انقل

sin (x)

إلى الجانب الأيسر

cos (2 x) \leq sin (x)

من الطرفين

sin (x)

اطرح

cos (2 x) - sin (x) \leq sin (x) - sin (x)

cos (2 x) - sin (x) \leq 0

cos (2 x) - sin (x) \leq 0

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

:استخدم المتطابقة التالية

1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x) \leq 0

u = sin (x) :

على افتراض أنّ

1 - 2 u^{2} - u \leq 0

1 - 2 u^{2} - u \leq 0 : u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} - u \leq 0

1 - 2 u^{2} - u

حلل إلى عوامل:

- (2 u - 1) (u + 1)

1 - 2 u^{2} - u

- 1

قم باخراج العامل المشترك

= - (2 u^{2} + u - 1)

2 u^{2} + u - 1

حلل إلى عوامل:

(2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

a x^{2} + b x + c

اكتب بالصورة الاعتياديّة

= 2 u^{2} + u - 1

قسّم التعابير لمجموعات

2 u^{2} + u - 1

تعريف

Factors of

2 : 1, 2

2

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

2 : 2

2

هو عدد أوّليّ لذلك لا يمكن تحليله لعوامل أوّليّة

2

= 2

Add 1

1

2

قواسم

1, 2

Negative factors of

2 : - 1, - 2

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2

For every two factors such that

u * v = - 2,

check if

u + v = 1

Check

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

خطأCheck

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

صحيح

u = 2, v = - 1

Group into

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

من

u

اخرج العامل

2 u^{2} - u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:فعّل قانون القوى

u^{2} = uu

= 2 uu - u

u

قم باخراج العامل المشترك

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

2 u - 1

قم باخراج العامل المشترك

= (2 u - 1) (u + 1)

= - (2 u - 1) (u + 1)

- (2 u - 1) (u + 1) \leq 0

Multiply both sides by

- 1

(reverse the inequality)

(- (2 u - 1) (u + 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

بسّط

(2 u - 1) (u + 1) \geq 0

ميّز المقاطع المختلفة

(2 u - 1) (u + 1)

:جد إشارة كل واحد من عوامل

2 u - 1

:جد إشارة

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 = 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

بسّط

2 u = 1

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

2 u = 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

بسّط

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 < 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

بسّط

2 u < 1

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

2 u < 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

بسّط

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

2 u - 1 > 0

للطرفين

1

أضف

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

بسّط

2 u > 1

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

2 u > 1

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

بسّط

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u + 1

:جد إشارة

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 = 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 = 0 - 1

بسّط

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 < 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 < 0 - 1

بسّط

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

u + 1 > 0

من الطرفين

1

اطرح

u + 1 - 1 > 0 - 1

بسّط

u > - 1

u > - 1

لخّص في جدول

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

\geq 0 :

ميّز المقاطع التي تحقّق الشرط

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

ادمج المجالات المتطابقة

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u < - 1

או

u = - 1

u \leq - 1

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq - 1

או

u = \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

اتحاد مجالين هو مجموعة الأرقام الموجودة بواحد أو أكثر من المجالين

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

או

u > \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) \leq - 1 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 1 : x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \leq - 1

For

sin (x) \leq a

, if

- 1 < a < 1

then

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 1) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- 1) + 2 πn

- π - arcsin (- 1)

بسّط:

- \frac{π}{2}

- π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= - π - (- \frac{π}{2})

بسّط

- π - (- \frac{π}{2})

- (- a) = a

فعّل القانون

= - π + \frac{π}{2}

π = \frac{π 2}{2}

:حوّل الأعداد لكسور

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{- π 2 + π}{2}

- 2 π + π = - π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{- π}{2}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

بسّط:

- \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

arcsin (- x) = - arcsin (x) :

استخدم القانون التالي

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{2} + 2 πn

بسّط

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

For

sin (x) \geq a

, if

- 1 < a < 1

then

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

بسّط:

\frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

استخدم المتطابقة الأساسيّة التالية:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

بسّط

π - \frac{π}{6}

π = \frac{π 6}{6}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{π 6 - π}{6}

6 π - π = 5 π :

اجمع العناصر المتشابهة

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

وحّد المقاطع

x = - \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

ادمج المجالات المتطابقة

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or x = - \frac{π}{2} + 2 πn

أمثلة شائعة

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0

sec(x)<= sqrt(2)

sec (x) \leq 2

1/(cos(x))<= 2,-pi<= x<= pi

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2, - π \leq x \leq π

sin(x)>0.5

sin (x) > 0.5