zs

English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

受欢迎的三角函数 >

cos(2x)<= sin(x)

解答

cos (2 x) \leq sin (x)

解答

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or x = - \frac{π}{2} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn] \cup x = - \frac{π}{2} + 2 πn

十进制

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn or x = - 1.57079 \dots + 2 πn

求解步骤

cos (2 x) \leq sin (x)

将

sin (x)

para o lado esquerdo

cos (2 x) \leq sin (x)

两边减去

sin (x)

cos (2 x) - sin (x) \leq sin (x) - sin (x)

cos (2 x) - sin (x) \leq 0

cos (2 x) - sin (x) \leq 0

利用以下特性:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) - sin (x) \leq 0

令

: u = sin (x)

1 - 2 u^{2} - u \leq 0

1 - 2 u^{2} - u \leq 0 : u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} - u \leq 0

分解

1 - 2 u^{2} - u : - (2 u - 1) (u + 1)

1 - 2 u^{2} - u

因式分解出通项

- 1

= - (2 u^{2} + u - 1)

分解

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c

= 2 u^{2} + u - 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} + u - 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = - 2

，检验是否

u + v = 1

检验

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= - (2 u - 1) (u + 1)

- (2 u - 1) (u + 1) \leq 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- (2 u - 1) (u + 1)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

化简

(2 u - 1) (u + 1) \geq 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u + 1)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

总结如下表：

2 u - 1 u + 1 (2 u - 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

合并重叠的区间

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < - 1

or

u = - 1

u \leq - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1

or

u = \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1 or u = \frac{1}{2}

or

u > \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{1}{2}

u = sin (x)

代回

sin (x) \leq - 1 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 1 : x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \leq - 1

对于

sin (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 1) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- 1) + 2 πn

化简

- π - arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

- π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= - π - (- \frac{π}{2})

化简

- π - (- \frac{π}{2})

使用法则

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{2}

将项转换为分式:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π}{2}

同类项相加:

- 2 π + π = - π

= \frac{- π}{2}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

化简

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{2} + 2 πn

化简

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

对于

sin (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

化简

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

化简

π - \frac{π}{6}

将项转换为分式:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

同类项相加:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

合并区间

x = - \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

合并重叠的区间

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn or x = - \frac{π}{2} + 2 πn

流行的例子

sin(x)cos(2x)>= 0

sin (x) cos (2 x) \geq 0

cos(x)-1/2 cos(2x)>0

cos (x) - \frac{1}{2} cos (2 x) > 0

sec(x)<= sqrt(2)

sec (x) \leq 2

1/(cos(x))<= 2,-pi<= x<= pi

\frac{1}{cos ( x )} \leq 2, - π \leq x \leq π

sin (x) > 0.5