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受欢迎的三角函数 >

(tan(x)+1)(tan(x)+2)+2tan(x)+2>= 0

解答

(tan (x) + 1) (tan (x) + 2) + 2 tan (x) + 2 \geq 0

解答

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x \leq - arctan (4) + πn

+2

间隔符号

[- \frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (- \frac{π}{2} + πn, - arctan (4) + πn]

十进制

- 0.78539 \dots + πn \leq x < 1.57079 \dots + πn or - 1.57079 \dots + πn < x \leq - 1.32581 \dots + πn

求解步骤

(tan (x) + 1) (tan (x) + 2) + 2 tan (x) + 2 \geq 0

令

: u = tan (x)

(u + 1) (u + 2) + 2 u + 2 \geq 0

(u + 1) (u + 2) + 2 u + 2 \geq 0 : u \leq - 4 or u \geq - 1

(u + 1) (u + 2) + 2 u + 2 \geq 0

分解

(u + 1) (u + 2) + 2 u + 2 : (u + 1) (u + 4)

(u + 1) (u + 2) + 2 u + 2

分解

2 u + 2 : 2 (u + 1)

2 u + 2

因式分解出通项

2

= 2 (u + 1)

= (u + 1) (u + 2) + 2 (u + 1)

因式分解出通项

(u + 1)

= (u + 1) (u + 2 + 2)

化简

u + 2 + 2 : u + 4

u + 2 + 2

数字相加:

2 + 2 = 4

= u + 4

= (u + 1) (u + 4)

(u + 1) (u + 4) \geq 0

确定区间

确定

(u + 1) (u + 4)

符号

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

确定

u + 4

符号

u + 4 = 0 : u = - 4

u + 4 = 0

将

4

到右边

u + 4 = 0

两边减去

4

u + 4 - 4 = 0 - 4

化简

u = - 4

u = - 4

u + 4 < 0 : u < - 4

u + 4 < 0

将

4

到右边

u + 4 < 0

两边减去

4

u + 4 - 4 < 0 - 4

化简

u < - 4

u < - 4

u + 4 > 0 : u > - 4

u + 4 > 0

将

4

到右边

u + 4 > 0

两边减去

4

u + 4 - 4 > 0 - 4

化简

u > - 4

u > - 4

总结如下表：

u + 1 u + 4 (u + 1) (u + 4) u < - 4 - - + u = - 4 - 00 - 4 < u < - 1 - + - u = - 1 0 + 0 u > - 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < - 4 or u = - 4 or u = - 1 or u > - 1

合并重叠的区间

u \leq - 4 or u = - 1 or u > - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < - 4

or

u = - 4

u \leq - 4

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 4

or

u = - 1

u \leq - 4 or u = - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 4 or u = - 1

or

u > - 1

u \leq - 4 or u \geq - 1

u \leq - 4 or u \geq - 1

u \leq - 4 or u \geq - 1

u \leq - 4 or u \geq - 1

u = tan (x)

代回

tan (x) \leq - 4 or tan (x) \geq - 1

tan (x) \leq - 4 : - \frac{π}{2} + πn < x \leq - arctan (4) + πn

tan (x) \leq - 4

若

tan (x) \leq a

，则

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x \leq arctan (- 4) + πn

化简

arctan (- 4) : - arctan (4)

arctan (- 4)

利用以下特性:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 4) = - arctan (4)

= - arctan (4)

- \frac{π}{2} + πn < x \leq - arctan (4) + πn

tan (x) \geq - 1 : - \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) \geq - 1

若

tan (x) \geq a

，则

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

化简

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

利用以下特性:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

使用以下普通恒等式:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

合并区间

- \frac{π}{2} + πn < x \leq - arctan (4) + πn or - \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

合并重叠的区间

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x \leq - arctan (4) + πn

流行的例子

sin(x+pi/4)<= 1/2

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}

cos(x)>(sqrt(2))/2

cos (x) > \frac{2}{2}

cos(x)<(sqrt(2))/2

cos (x) < \frac{2}{2}

cot (x) < 1

2 sin (x) - 1 \geq 0