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beweisen cos(-(5pi)/4)=cos((3pi)/4)

Lösung

beweisen

cos (- \frac{5 π}{4}) = cos (\frac{3 π}{4})

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (- \frac{5 π}{4}) = cos (\frac{3 π}{4})

Manipuliere die linke Seite

cos (- \frac{5 π}{4})

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= cos (\frac{5 π}{4})

Vereinfache

cos (\frac{5 π}{4}) : - \frac{2}{2}

cos (\frac{5 π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

cos (\frac{5 π}{4})

Schreibe

cos (\frac{5 π}{4})

als

cos (π + \frac{π}{4})

= cos (π + \frac{π}{4})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

= cos (π) cos (\frac{π}{4}) - sin (π) sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (π) = (- 1)

cos (π)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= (- 1) \frac{2}{2} - 0 \cdot \frac{2}{2}

Vereinfache

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

Manipuliere die rechte Seite

cos (\frac{3 π}{4})

Vereinfache

= - \frac{2}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2) = 2

p ro v e sin (3 x) = 2 \cdot sin (\frac{3 x}{2}) \cdot cos (\frac{3 x}{2})

p ro v e (cot (x) + tan (x))^{2} = sec^{2} (x) csc^{2} (x)

p ro v e 6 sin (\frac{5 π}{6}) = 2 + 2 sin (\frac{5 π}{6})

p ro v e \frac{0}{sin ( x ) cos ( x )} = 0