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beweisen (1+cot^2(x))= 1/(sin^2(x))

Lösung

beweisen

(1 + cot^{2} (x)) = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

1 + cot^{2} (x) = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Manipuliere die linke Seite

1 + cot^{2} (x)

Drücke mit sin, cos aus

1 + cot^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Vereinfache

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x) (1 + csc (x)) = 1 + sin (x)

p ro v e (sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) = \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}

p ro v e cot^{2} (x) - cos^{2} (x) = cot^{2} (x) cot (x)

p ro v e cos (θ) = - \frac{3}{4}