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dimostrare (sin(4θ)+sin(2θ))/(cos(4θ)+cos(2θ))=tan(3θ)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

Usa la formula della somma al prodotto:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

Semplifica

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )} : \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

Aggiungi elementi simili:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

Aggiungi elementi simili:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}

Usa l'identità dell'angolo negativo:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ}{2} ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

Dividi i numeri:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Usa la formula della somma al prodotto:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Semplifica

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )} : \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

Aggiungi elementi simili:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

Aggiungi elementi simili:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

Usa l'identità dell'angolo negativo:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 θ}{2} ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( θ ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Dividi i numeri:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{cos ( θ ) sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

Cancella il fattore comune:

cos (θ)

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (3 θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e (sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{( csc ( x ) + 1 )}{csc ( x ) - 1}

p ro v e \frac{sin ( x )}{- cos ( x )} = sin (x) + tan (x)

p ro v e (cot (X) - csc (X)) (cot (X) + csc (X)) = - 1

p ro v e \frac{2 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{2 sin ( 2 θ )} = cos (θ)

p ro v e - sin (2 x) + cos (2 x) = 1