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Popular Trigonometria >

provar (sec(x)+tan(x))^2=((csc(x)+1))/(csc(x)-1)

Solução

provar

(sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{( csc ( x ) + 1 )}{csc ( x ) - 1}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

(sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{csc ( x ) + 1}{csc ( x ) - 1}

Manipular o lado direito

(sec (x) + tan (x))^{2}

Expresar com seno, cosseno

(sec (x) + tan (x))^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )} + tan (x))^{2}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Simplificar

(\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Combinar as frações usando o mínimo múltiplo comum:

\frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= (\frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{1 - sin ^{2} ( x )}

Simplificar

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{1 - sin ^{2} ( x )} : - \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x ) - 1}

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{1 - sin ^{2} ( x )}

Fatorar

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Fatorar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

Eliminar o fator comum:

sin (x) + 1

= - \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x ) - 1}

= - \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x ) - 1}

= - \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x ) - 1}

Manipular o lado esquerdo

\frac{csc ( x ) + 1}{csc ( x ) - 1}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 + csc ( x )}{- 1 + csc ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplificar

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{sin ( x ) + 1}{- sin ( x ) + 1}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Simplificar

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

em uma fração:

\frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Simplificar

1 + \frac{1}{sin ( x )}

em uma fração:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( x ) + 1 ) sin ( x )}{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Eliminar o fator comum:

sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{- sin ( x ) + 1}

= \frac{sin ( x ) + 1}{- sin ( x ) + 1}

= \frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )}

Multiplicar

\frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

por

Eq u a t i o n 1

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{( 1 - sin ( x ) ) cos ^{2} ( x )}

Fatorar

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{- ( - 1 + sin ( x ) ) cos ^{2} ( x )}

missing stepId = G e n er i c S im pl i f y T i tl e 0 Eq

= \frac{1 + sin ( x )}{- ( - 1 + sin ( x ) )}

Simplificar

= - \frac{1 + sin ( x )}{- 1 + sin ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (sin(x))/(-cos(x))=sin(x)+tan(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{- cos ( x )} = sin (x) + tan (x)

provar (cot(X)-csc(X))(cot(X)+csc(X))=-1

p ro v e (cot (X) - csc (X)) (cot (X) + csc (X)) = - 1

provar (2sin(2θ)cos(θ))/(2sin(2θ))=cos(θ)

p ro v e \frac{2 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{2 sin ( 2 θ )} = cos (θ)

provar-sin(2x)+cos(2x)=1

p ro v e - sin (2 x) + cos (2 x) = 1

provar sin(x)(sec(x)tan(x))=tan^2(x)

p ro v e sin (x) (sec (x) tan (x)) = tan^{2} (x)