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beweisen (cos(4x)+cos(6x))/(sin(4x)-sin(6x))=-cot(x)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )} = - cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )} = - cot (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x - 6 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Vereinfache

\frac{2 cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x - 6 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )} : \frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

\frac{2 cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x - 6 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

2 cos (\frac{4 x + 6 x}{2}) cos (\frac{4 x - 6 x}{2}) = 2 cos (\frac{10 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

2 cos (\frac{4 x + 6 x}{2}) cos (\frac{4 x - 6 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

4 x + 6 x = 10 x

= 2 cos (\frac{10 x}{2}) cos (\frac{4 x - 6 x}{2})

\frac{4 x - 6 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{4 x - 6 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 x - 6 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= 2 cos (\frac{10 x}{2}) cos (- \frac{2 x}{2})

= \frac{2 cos ( \frac{10 x}{2} ) cos ( - \frac{2 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{2 cos ( \frac{2 x}{2} ) cos ( \frac{10 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{2 cos ( x ) cos ( \frac{10 x}{2} )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= \frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

= \frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) - sin (t) = 2 sin (\frac{s - t}{2}) cos (\frac{s + t}{2})

= \frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{2 sin ( \frac{4 x - 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{2 sin ( \frac{4 x - 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} )} : - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{2 sin ( \frac{4 x - 6 x}{2} ) cos ( \frac{4 x + 6 x}{2} )}

2 sin (\frac{4 x - 6 x}{2}) cos (\frac{4 x + 6 x}{2}) = 2 sin (- \frac{2 x}{2}) cos (\frac{10 x}{2})

2 sin (\frac{4 x - 6 x}{2}) cos (\frac{4 x + 6 x}{2})

\frac{4 x - 6 x}{2} = - \frac{2 x}{2}

\frac{4 x - 6 x}{2}

Addiere gleiche Elemente:

4 x - 6 x = - 2 x

= \frac{- 2 x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 x}{2}

= 2 sin (- \frac{2 x}{2}) cos (\frac{4 x + 6 x}{2})

Addiere gleiche Elemente:

4 x + 6 x = 10 x

= 2 sin (- \frac{2 x}{2}) cos (\frac{10 x}{2})

= \frac{2 cos ( x ) cos ( 5 x )}{2 sin ( - \frac{2 x}{2} ) cos ( \frac{10 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( x ) cos ( 5 x )}{sin ( - \frac{2 x}{2} ) cos ( \frac{10 x}{2} )}

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= \frac{cos ( 5 x ) cos ( x )}{cos ( \frac{10 x}{2} ) ( - sin ( \frac{2 x}{2} ) )}

Fasse zusammen

= - \frac{cos ( 5 x ) cos ( x )}{cos ( \frac{10 x}{2} ) sin ( \frac{2 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{10}{2} = 5

= - \frac{cos ( 5 x ) cos ( x )}{cos ( 5 x ) sin ( \frac{2 x}{2} )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{cos ( 5 x ) cos ( x )}{cos ( 5 x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (5 x)

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= - cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 2 sin^{2} (x) = (1 - cos (2 x))

p ro v e 2 sin (4 x) = 4 sin (2 x) cos (2 x)

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

p ro v e 1 - \frac{( cos ^{2} ( θ ) )}{1 + sin ( θ )} = sin (θ)

p ro v e tan (18 0^{\circ} - y) = - tan (y)