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beweisen (cot^2(x)-1)/(csc^2(x))=cos(2x)

Lösung

beweisen

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )} = cos (2 x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + cot ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : - sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} ) sin ^{2} ( x )}{1}

Füge

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) - s i n ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )} sin ^{2} ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} sin^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= - - sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

= - sin^{2} (x) + cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc^{2} (x) - csc^{2} (x) \cdot cos^{2} (x) = 1

p ro v e cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ) = cos (θ) cos (2 θ)

p ro v e 1 + (cot (A))^{2} = \cdot (csc (A))^{2}

p ro v e \frac{sin ( x ) \cdot cos ( x )}{tan ( x )} = cos^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = 20