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provar cos(θ)-sin(θ)sin(2θ)=cos(θ)cos(2θ)

Solução

provar

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ) = cos (θ) cos (2 θ)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ) = cos (θ) cos (2 θ)

Manipular o lado direito

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ)

Use a identidade da transformação de produto em soma:

sin (s) sin (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) - cos (s + t))

= cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Simplificar

cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) : \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) = \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( θ - 2 θ ) - cos ( θ + 2 θ ) )}{2}

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) = cos (- θ) - cos (3 θ)

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Somar elementos similares:

θ - 2 θ = - θ

= 1 \cdot (cos (- θ) - cos (θ + 2 θ))

Somar elementos similares:

θ + 2 θ = 3 θ

= 1 \cdot (cos (- θ) - cos (3 θ))

Multiplicar:

1 \cdot (cos (- θ) - cos (3 θ)) = (cos (- θ) - cos (3 θ))

= (cos (- θ) - cos (3 θ))

Remover os parênteses:

(a) = a

= cos (- θ) - cos (3 θ)

= \frac{cos ( - θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

Simplificar

cos (- θ) - cos (3 θ) : cos (θ) - cos (3 θ)

cos (- θ) - cos (3 θ)

Use a identidade de ângulo negativo:

cos (- x) = cos (x)

= cos (θ) - cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

= cos (θ) - \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

Converter para fração:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) 2}{2}

= - \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2} + \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( cos ( θ ) - cos ( 3 θ ) ) + cos ( θ ) \cdot 2}{2}

Expandir

- (cos (θ) - cos (3 θ)) + cos (θ) \cdot 2 : cos (θ) + cos (3 θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ)) + cos (θ) \cdot 2

= - (cos (θ) - cos (3 θ)) + 2 cos (θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ)) : - cos (θ) + cos (3 θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ))

Colocar os parênteses

= - (cos (θ)) - (- cos (3 θ))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - cos (θ) + cos (3 θ)

= - cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2

Simplificar

- cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2 : cos (θ) + cos (3 θ)

- cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2

Agrupar termos semelhantes

= - cos (θ) + cos (3 θ) + 2 cos (θ)

Somar elementos similares:

- cos (θ) + 2 cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Manipular o lado esquerdo

cos (θ) cos (2 θ)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (θ) cos (2 θ)

Use a identidade da transformação de produto em soma:

cos (s) cos (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) + cos (s + t))

= \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Simplificar

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ)) : \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( θ - 2 θ ) + cos ( θ + 2 θ ) )}{2}

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ)) = cos (- θ) + cos (3 θ)

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Somar elementos similares:

θ - 2 θ = - θ

= 1 \cdot (cos (- θ) + cos (θ + 2 θ))

Somar elementos similares:

θ + 2 θ = 3 θ

= 1 \cdot (cos (- θ) + cos (3 θ))

Multiplicar:

1 \cdot (cos (- θ) + cos (3 θ)) = (cos (- θ) + cos (3 θ))

= (cos (- θ) + cos (3 θ))

Remover os parênteses:

(a) = a

= cos (- θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( - θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Simplificar

cos (- θ) + cos (3 θ) : cos (θ) + cos (3 θ)

cos (- θ) + cos (3 θ)

Use a identidade de ângulo negativo:

cos (- x) = cos (x)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 1+(cot(A))^2=*(csc(A))^2

p ro v e 1 + (cot (A))^{2} = \cdot (csc (A))^{2}

provar (sin(x)*cos(x))/(tan(x))=cos^2(x)

p ro v e \frac{sin ( x ) \cdot cos ( x )}{tan ( x )} = cos^{2} (x)

provar 1/(cos^2(x))=20

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = 20

provar (1-cos^2(a))/(cos^2(a))=tan^2(a)

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} = tan^{2} (a)

provar 1-sin(r)=cos(r)

p ro v e 1 - sin (r) = cos (r)