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Beliebt Trigonometrie >

beweisen cos(θ)-sin(θ)sin(2θ)=cos(θ)cos(2θ)

Lösung

beweisen

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ) = cos (θ) cos (2 θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ) = cos (θ) cos (2 θ)

Manipuliere die linke Seite

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ) - sin (θ) sin (2 θ)

Benutze die Identität von Produkt und Summe:

sin (s) sin (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) - cos (s + t))

= cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Vereinfache

cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) : \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

cos (θ) - \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) = \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( θ - 2 θ ) - cos ( θ + 2 θ ) )}{2}

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ)) = cos (- θ) - cos (3 θ)

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) - cos (θ + 2 θ))

Addiere gleiche Elemente:

θ - 2 θ = - θ

= 1 \cdot (cos (- θ) - cos (θ + 2 θ))

Addiere gleiche Elemente:

θ + 2 θ = 3 θ

= 1 \cdot (cos (- θ) - cos (3 θ))

Multipliziere:

1 \cdot (cos (- θ) - cos (3 θ)) = (cos (- θ) - cos (3 θ))

= (cos (- θ) - cos (3 θ))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (- θ) - cos (3 θ)

= \frac{cos ( - θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

Vereinfache

cos (- θ) - cos (3 θ) : cos (θ) - cos (3 θ)

cos (- θ) - cos (3 θ)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= cos (θ) - cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

= cos (θ) - \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (θ) = \frac{cos ( θ ) 2}{2}

= - \frac{cos ( θ ) - cos ( 3 θ )}{2} + \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( cos ( θ ) - cos ( 3 θ ) ) + cos ( θ ) \cdot 2}{2}

Multipliziere aus

- (cos (θ) - cos (3 θ)) + cos (θ) \cdot 2 : cos (θ) + cos (3 θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ)) + cos (θ) \cdot 2

= - (cos (θ) - cos (3 θ)) + 2 cos (θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ)) : - cos (θ) + cos (3 θ)

- (cos (θ) - cos (3 θ))

Setze Klammern

= - (cos (θ)) - (- cos (3 θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - cos (θ) + cos (3 θ)

= - cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2

Vereinfache

- cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2 : cos (θ) + cos (3 θ)

- cos (θ) + cos (3 θ) + cos (θ) \cdot 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (θ) + cos (3 θ) + 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (θ) + 2 cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Manipuliere die rechte Seite

cos (θ) cos (2 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ) cos (2 θ)

Benutze die Identität von Produkt und Summe:

cos (s) cos (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) + cos (s + t))

= \frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Vereinfache

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ)) : \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

\frac{1}{2} (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( θ - 2 θ ) + cos ( θ + 2 θ ) )}{2}

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ)) = cos (- θ) + cos (3 θ)

1 \cdot (cos (θ - 2 θ) + cos (θ + 2 θ))

Addiere gleiche Elemente:

θ - 2 θ = - θ

= 1 \cdot (cos (- θ) + cos (θ + 2 θ))

Addiere gleiche Elemente:

θ + 2 θ = 3 θ

= 1 \cdot (cos (- θ) + cos (3 θ))

Multipliziere:

1 \cdot (cos (- θ) + cos (3 θ)) = (cos (- θ) + cos (3 θ))

= (cos (- θ) + cos (3 θ))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (- θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( - θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Vereinfache

cos (- θ) + cos (3 θ) : cos (θ) + cos (3 θ)

cos (- θ) + cos (3 θ)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= cos (θ) + cos (3 θ)

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

= \frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen 1+(cot(A))^2=*(csc(A))^2

p ro v e 1 + (cot (A))^{2} = \cdot (csc (A))^{2}

beweisen (sin(x)*cos(x))/(tan(x))=cos^2(x)

p ro v e \frac{sin ( x ) \cdot cos ( x )}{tan ( x )} = cos^{2} (x)

beweisen 1/(cos^2(x))=20

p ro v e \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = 20

beweisen (1-cos^2(a))/(cos^2(a))=tan^2(a)

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )} = tan^{2} (a)

beweisen 1-sin(r)=cos(r)

p ro v e 1 - sin (r) = cos (r)