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beweisen 1/(1+cot^2(a))=sin^2(a)

Lösung

beweisen

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )} = sin^{2} (a)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )} = sin^{2} (a)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( a )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}

\frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( a )}{s i n ( a )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1}{1 + \frac{c o s ^{2} ( a )}{s i n ^{2} ( a )}}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

1 + \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} + \frac{cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (a) = sin^{2} (a)

= \frac{sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( a ) + c o s ^{2} ( a )}{s i n ^{2} ( a )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a ) + cos ^{2} ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ^{2} ( a )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin^{2} (a)

= sin^{2} (a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (2 x) = - \frac{arctan ( - \frac{4}{3} )}{2}

p ro v e cos (0 + \frac{π}{2}) = - sin (0)

p ro v e cot^{2} (x) = \frac{1 + cos ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

p ro v e (sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) + 1