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受欢迎的三角函数 >

证明 cot(θ)-tan(θ)=(2cos(2θ))/(sin(2θ))

解答

证明

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

解答

真

求解步骤

cot (θ) - tan (θ) = \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

调整左侧

cot (θ) - tan (θ)

用 sin, cos 表示

cot (θ) - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - tan (θ)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

化简

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ), cos (θ)

的最小公倍数:

sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

计算出由出现在

sin (θ)

或

cos (θ)

中的因子组成的表达式

= sin (θ) cos (θ)

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

sin (θ) cos (θ)

对于

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

将分母和分子乘以

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

对于

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

将分母和分子乘以

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用三角恒等式改写

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

使用倍角公式:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

使用倍角公式:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2 cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 tan(-u)*sin(-u)+cos(-u)=sec(u)

p ro v e tan (- u) \cdot sin (- u) + cos (- u) = sec (u)

证明 (2sin^2(x))/(sin(2x))= 1/(cot(x))

p ro v e \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{cot ( x )}

证明 csc(x)(csc(x)+sin(-x))=cot^2(x)

p ro v e csc (x) (csc (x) + sin (- x)) = cot^{2} (x)

证明 tan(x)+cot(x)=(sec(x))*(csc(x))

p ro v e tan (x) + cot (x) = (sec (x)) \cdot (csc (x))

证明 (csc(θ)sin(θ))/(cos(θ))=sec(θ)

p ro v e \frac{csc ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)