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beweisen tan(-u)*sin(-u)+cos(-u)=sec(u)

Lösung

beweisen

tan (- u) \cdot sin (- u) + cos (- u) = sec (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (- u) sin (- u) + cos (- u) = sec (u)

Manipuliere die linke Seite

tan (- u) sin (- u) + cos (- u)

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= cos (- u) + (- sin (u)) tan (- u)

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= cos (u) + tan (- u) (- sin (u))

Verwende die negative Winkelidentität:

tan (- x) = - tan (x)

= cos (u) + (- tan (u)) (- sin (u))

Drücke mit sin, cos aus

cos (u) + (- sin (u)) (- tan (u))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos (u) + (- sin (u)) (- \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

Vereinfache

cos (u) + (- sin (u)) (- \frac{sin ( u )}{cos ( u )}) : \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

cos (u) + (- sin (u)) (- \frac{sin ( u )}{cos ( u )})

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= cos (u) + sin (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

sin (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

sin (u) \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( u ) sin ( u )}{cos ( u )}

sin (u) sin (u) = sin^{2} (u)

sin (u) sin (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (u) sin (u) = sin^{1 + 1} (u)

= sin^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (u)

= \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

= cos (u) + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (u) = \frac{cos ( u ) cos ( u )}{cos ( u )}

= \frac{cos ( u ) cos ( u )}{cos ( u )} + \frac{sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( u ) cos ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

cos (u) cos (u) + sin^{2} (u) = cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

cos (u) cos (u) + sin^{2} (u)

cos (u) cos (u) = cos^{2} (u)

cos (u) cos (u)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (u) cos (u) = cos^{1 + 1} (u)

= cos^{1 + 1} (u)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u) + sin^{2} (u)

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

= \frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( u ) + sin ^{2} ( u )}{cos ( u )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ( u )}

= \frac{1}{cos ( u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( u )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( u )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( u )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (u)

sec (u)

sec (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( 2 x )} = \frac{1}{cot ( x )}

p ro v e csc (x) (csc (x) + sin (- x)) = cot^{2} (x)

p ro v e tan (x) + cot (x) = (sec (x)) \cdot (csc (x))

p ro v e \frac{csc ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )} = sec (θ)

p ro v e cos (- \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}