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人気のある三角関数 >

証明する tan(A+B)+tan(A-B)=((2sin(2A)))/((cos(2A)+cos(2B)))

解

証明する

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{( 2 sin ( 2 A ) )}{( cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) )}

解

真

解答ステップ

tan (A + B) + tan (A - B) = \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

左側を操作する

tan (A + B) + tan (A - B)

サイン, コサインで表わす

tan (A + B) + tan (A - B)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + tan (A - B)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

簡素化

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} : \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} + \frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

以下の最小公倍数:

cos (A + B), cos (A - B) : cos (A + B) cos (A - B)

cos (A + B), cos (A - B)

最小公倍数 (LCM)

cos (A + B)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos (A - B)

= cos (A + B) cos (A - B)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

cos (A + B) cos (A - B)

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (A - B)

\frac{sin ( A + B )}{cos ( A + B )} = \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (A + B)

\frac{sin ( A - B )}{cos ( A - B )} = \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )} + \frac{sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A - B ) cos ( A + B )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{sin ( A + B ) cos ( A - B ) + sin ( A - B ) cos ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{cos ( A + B ) cos ( A - B )}

積・和の公式を使用する:

cos (s) cos (t) = \frac{1}{2} (cos (s - t) + cos (s + t))

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

簡素化

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )} : \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

\frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( A + B + A - B ) )}

簡素化

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

条件のようなグループ

= A + A + B - B

類似した元を足す:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

類似した元を足す:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{1}{2} ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}

乗じる

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) : \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

\frac{1}{2} (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A ) )}{2}

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

乗算:

1 \cdot (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)) = (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

= (cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A))

括弧を削除する:

(a) = a

= cos (A + B - (A - B)) + cos (2 A)

= \frac{cos ( A + B - ( A - B ) ) + cos ( 2 A )}{2}

拡張

A + B - (A - B) : 2 B

A + B - (A - B)

- (A - B) : - A + B

- (A - B)

括弧を分配する

= - (A) - (- B)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - A + B

= A + B - A + B

簡素化

A + B - A + B : 2 B

A + B - A + B

条件のようなグループ

= A - A + B + B

類似した元を足す:

A - A = 0

= B + B

類似した元を足す:

B + B = 2 B

= 2 B

= 2 B

= \frac{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}{2}

= \frac{cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B )}{\frac{c o s ( 2 B ) + c o s ( 2 A )}{2}}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) ) \cdot 2}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 ( cos ( A + B ) sin ( A - B ) + cos ( A - B ) sin ( A + B ) )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

書き換え

= sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

三角関数の公式を使用して書き換える

sin (A + B) cos (A - B) + cos (A + B) sin (A - B)

角の和の公式を使用する:

sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t) = sin (s + t)

= \frac{2 sin ( A + B + A - B )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

簡素化

A + B + A - B : 2 A

A + B + A - B

条件のようなグループ

= A + A + B - B

類似した元を足す:

A + A = 2 A

= 2 A + B - B

類似した元を足す:

B - B = 0

= 2 A

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 B ) + cos ( 2 A )}

= \frac{2 sin ( 2 A )}{cos ( 2 A ) + cos ( 2 B )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(3θ)=4cos^3(θ)-cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - cos (θ)

証明する (1+csc(b))/(cot(b)+cos(b))=sec(b)

p ro v e \frac{1 + csc ( b )}{cot ( b ) + cos ( b )} = sec (b)

証明する (1+tan^2(θ))/(tan(θ))=sec(θ)csc(θ)

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

証明する sin(4a)=2sin(2a)cos(2a)

p ro v e sin (4 a) = 2 sin (2 a) cos (2 a)

証明する sin(2D)=2cot(D)sin^2(D)

p ro v e sin (2 D) = 2 cot (D) sin^{2} (D)