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beweisen (1+csc(b))/(cot(b)+cos(b))=sec(b)

Lösung

beweisen

\frac{1 + csc ( b )}{cot ( b ) + cos ( b )} = sec (b)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + csc ( b )}{cot ( b ) + cos ( b )} = sec (b)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + csc ( b )}{cot ( b ) + cos ( b )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + csc ( b )}{cos ( b ) + cot ( b )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( b )}}{cos ( b ) + cot ( b )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( b )}}{cos ( b ) + \frac{c o s ( b )}{s i n ( b )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( b )}}{cos ( b ) + \frac{c o s ( b )}{s i n ( b )}} : \frac{1}{cos ( b )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( b )}}{cos ( b ) + \frac{c o s ( b )}{s i n ( b )}}

Füge

cos (b) + \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

zusammen:

\frac{cos ( b ) sin ( b ) + cos ( b )}{sin ( b )}

cos (b) + \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (b) = \frac{cos ( b ) sin ( b )}{sin ( b )}

= \frac{cos ( b ) sin ( b )}{sin ( b )} + \frac{cos ( b )}{sin ( b )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( b ) sin ( b ) + cos ( b )}{sin ( b )}

= \frac{1 + \frac{1}{s i n ( b )}}{\frac{c o s ( b ) s i n ( b ) + c o s ( b )}{s i n ( b )}}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( b )}

zusammen:

\frac{sin ( b ) + 1}{sin ( b )}

1 + \frac{1}{sin ( b )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( b )}{sin ( b )}

= \frac{1 \cdot sin ( b )}{sin ( b )} + \frac{1}{sin ( b )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( b ) + 1}{sin ( b )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (b) = sin (b)

= \frac{sin ( b ) + 1}{sin ( b )}

= \frac{\frac{s i n ( b ) + 1}{s i n ( b )}}{\frac{c o s ( b ) s i n ( b ) + c o s ( b )}{s i n ( b )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( sin ( b ) + 1 ) sin ( b )}{sin ( b ) ( cos ( b ) sin ( b ) + cos ( b ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (b)

= \frac{sin ( b ) + 1}{cos ( b ) sin ( b ) + cos ( b )}

Klammere gleiche Terme aus

cos (b)

= \frac{sin ( b ) + 1}{cos ( b ) ( sin ( b ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (b) + 1

= \frac{1}{cos ( b )}

= \frac{1}{cos ( b )}

= \frac{1}{cos ( b )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( b )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( b )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( b )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (b)

sec (b)

sec (b)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

p ro v e sin (4 a) = 2 sin (2 a) cos (2 a)

p ro v e sin (2 D) = 2 cot (D) sin^{2} (D)

p ro v e csc (x) \cdot tan (x) + sec (x) = 2 sec (x)

p ro v e (cos (x) + sin (x))^{2} = 1 + 2 cos (x) sin (x)