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beweisen cos(2x)=(2-sec^2(x))/(sec^2(x))

Lösung

beweisen

cos (2 x) = \frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = \frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} : 2 cos^{2} (x) - 1

\frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 2 - \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} ) cos ^{2} ( x )}{1}

Füge

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

2 - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{2 c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} cos ^{2} ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} cos^{2} (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 cos^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (y) = \frac{sin ( 2 y )}{1 - cos ( 2 y )}

p ro v e 1 + \frac{1}{tan ^{2} ( α )} = \frac{1}{sin ^{2} ( α )}

p ro v e cos (π) = cos (- π)

p ro v e sec^{2} (θ) - 1 = \frac{tan ( θ )}{cot ( θ )}

p ro v e cot (x) = \frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( x ^{2} )}