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Popular Trigonometria >

provar (sin(x))/(1-sin(x))+(sin(x))/(1+sin(x))=(2tan(x))/(cos(x))

Solução

provar

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Manipular o lado direito

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} : \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

1 + sin (x)

quanto em

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

- sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x) + 1

\frac{sin ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 ) + sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Expandir

sin (x) (- sin (x) + 1) + sin (x) (sin (x) + 1) : 2 sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1) + sin (x) (sin (x) + 1)

Expandir

sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (- sin (x) + 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = - sin (x), c = 1

= sin (x) (- sin (x)) + sin (x) \cdot 1

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Simplificar

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : - sin^{2} (x) + sin (x)

- sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x) + sin (x) (sin (x) + 1)

Expandir

sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) (sin (x) + 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = sin (x), b = sin (x), c = 1

= sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 1

= sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

Simplificar

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x) : sin^{2} (x) + sin (x)

sin (x) sin (x) + 1 \cdot sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 \cdot sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= sin^{2} (x) + sin (x)

= - sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Simplificar

- sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x) : 2 sin (x)

- sin^{2} (x) + sin (x) + sin^{2} (x) + sin (x)

Somar elementos similares:

- sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 0

= sin (x) + sin (x)

Somar elementos similares:

sin (x) + sin (x) = 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= 2 sin (x)

= \frac{2 sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{2 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Expandir

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{2}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{cos ( x )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (2cos(x))/(cos^2(x))=2sec(x)

p ro v e \frac{2 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 2 sec (x)

provar cos(x+pi)+sin(x-(3pi)/2)=0

p ro v e cos (x + π) + sin (x - \frac{3 π}{2}) = 0

provar cos^4(A)-sin^4(A)+1=2cos^2(A)

p ro v e cos^{4} (A) - sin^{4} (A) + 1 = 2 cos^{2} (A)

provar 1-tan^4(θ)=2sec^2(θ)-sec^4(θ)

p ro v e 1 - tan^{4} (θ) = 2 sec^{2} (θ) - sec^{4} (θ)

provar 7sec(y)cos(y)=7

p ro v e 7 sec (y) cos (y) = 7