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Popolare Trigonometria >

dimostrare sec(2x)=(sec^2(x)+sec^4(x))/(2+sec^2(x)-sec^4(x))

Soluzione

dimostrare

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Manipolando il lato destro

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

Semplifica

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}} : \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

Unisci

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )} : \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcola un espressione composta da fattori che appaiono almeno in una delle espressioni scomposte

= cos^{4} (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos^{4} (x)

Per

\frac{2}{1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{4} (x)

\frac{2}{1} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{1 \cdot cos ^{4} ( x )} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

Per

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

Unisci

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

cos^{2} (x)

cos^{4} (x)

= cos^{4} (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos^{4} (x)

Per

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x ) ( 2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1 )}

Cancella il fattore comune:

cos^{4} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}

Fattorizza

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1 : (2 cos^{2} (x) - 1) (cos^{2} (x) + 1)

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1

Lasciare

u = cos^{2} (x)

= 2 u^{2} + u - 1

Fattorizza

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} + u - 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 2,

controllare se

u + v = 1

Verifica

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Vero

u = 2, v = - 1

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= (2 u - 1) (u + 1)

Sostituire indietro

u = cos^{2} (x)

= (cos^{2} (x) + 1) (2 cos^{2} (x) - 1)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) ( cos ^{2} ( x ) + 1 )}

Cancella il fattore comune:

cos^{2} (x) + 1

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Semplificare

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare 1/(csc(x))= 1/(sin(x))

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

dimostrare 1+tan^2(A)=sec^3(A)cos(A)

p ro v e 1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

dimostrare sec(0)-cos(0)=tan(0)sin(0)

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)

dimostrare 1-sin(θ)cos(θ)tan(θ)=cos^2(θ)

p ro v e 1 - sin (θ) cos (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

dimostrare tan^2(x)+sin(x)csc(x)=sec^2(x)

p ro v e tan^{2} (x) + sin (x) csc (x) = sec^{2} (x)