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受欢迎的三角函数 >

证明 cos^4(β)-sin^4(β)=cos(2β)

解答

证明

cos^{4} (β) - sin^{4} (β) = cos (2 β)

解答

真

求解步骤

cos^{4} (β) - sin^{4} (β) = cos (2 β)

调整左侧

cos^{4} (β) - sin^{4} (β)

分解

cos^{4} (β) - sin^{4} (β) : (cos^{2} (β) + sin^{2} (β)) (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

cos^{4} (β) - sin^{4} (β)

将

cos^{4} (β) - sin^{4} (β)

改写为

(cos^{2} (β))^{2} - (sin^{2} (β))^{2}

cos^{4} (β) - sin^{4} (β)

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (β) = (sin^{2} (β))^{2}

= cos^{4} (β) - (sin^{2} (β))^{2}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (β) = (cos^{2} (β))^{2}

= (cos^{2} (β))^{2} - (sin^{2} (β))^{2}

= (cos^{2} (β))^{2} - (sin^{2} (β))^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos^{2} (β))^{2} - (sin^{2} (β))^{2} = (cos^{2} (β) + sin^{2} (β)) (cos^{2} (β) - sin^{2} (β))

= (cos^{2} (β) + sin^{2} (β)) (cos^{2} (β) - sin^{2} (β))

分解

cos^{2} (β) - sin^{2} (β) : (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

cos^{2} (β) - sin^{2} (β)

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (β) - sin^{2} (β) = (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

= (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

= (cos^{2} (β) + sin^{2} (β)) (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

= (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β)) (cos^{2} (β) + sin^{2} (β))

使用三角恒等式改写

(cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β)) (cos^{2} (β) + sin^{2} (β))

使用毕达哥拉斯恒等式:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β)) \cdot 1

化简

= (cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

乘开

(cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β)) : cos^{2} (β) - sin^{2} (β)

(cos (β) + sin (β)) (cos (β) - sin (β))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (β), b = sin (β)

= cos^{2} (β) - sin^{2} (β)

= cos^{2} (β) - sin^{2} (β)

使用倍角公式:

cos^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos (2 β)

= cos (2 β)

= cos (2 β)

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 cos^3(x)= 3/4 cos(x)+1/4 cos(3x)

p ro v e cos^{3} (x) = \frac{3}{4} cos (x) + \frac{1}{4} cos (3 x)

证明 tan(pi/4+x)=(1+sin(2x))/(cos(2x))

p ro v e tan (\frac{π}{4} + x) = \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

证明 sin^2(x)+1/(sec^2(x))=sin(x)csc(x)

p ro v e sin^{2} (x) + \frac{1}{sec ^{2} ( x )} = sin (x) csc (x)

证明 sin(x)=sqrt(1-cos(x))

p ro v e sin (x) = 1 - cos (x)

证明 (sec(2x)+1)/(tan(2x))=cot(x)

p ro v e \frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )} = cot (x)