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provar cos(4a)=1-8sin^2(a)cos^2(a)

Solução

provar

cos (4 a) = 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

Verdadeiro

Passos da solução

cos (4 a) = 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

Manipular o lado direito

cos (4 a)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (4 a)

= cos (2 \cdot 2 a)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (2 a)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - 2 (2 sin (a) cos (a))^{2}

Simplificar

1 - 2 (2 sin (a) cos (a))^{2} : 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

1 - 2 (2 sin (a) cos (a))^{2}

2 (2 sin (a) cos (a))^{2} = 2^{3} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

2 (2 sin (a) cos (a))^{2}

(2 sin (a) cos (a))^{2} = 2^{2} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

(2 sin (a) cos (a))^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

= 2^{2} \cdot 2 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2^{2} = 2^{1 + 2}

= 2^{1 + 2} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

Somar:

1 + 2 = 3

= 2^{3} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

= 1 - 2^{3} sin^{2} (a) cos^{2} (a)

2^{3} = 8

= 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

= 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

= 1 - 8 sin^{2} (a) cos^{2} (a)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e 1 - cos (4 x) = 2 sin^{2} (2 x)

p ro v e cos (2 β) = \frac{1 - tan ^{2} ( β )}{1 + tan ^{2} ( β )}

p ro v e tan (π + x) = tan (x)

p ro v e tan (A) = tan (A) csc^{2} (A) + cot (- A)

p ro v e \frac{1}{1 + sin ( x )} = (sec (x) - tan (x)) sec (x)