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beweisen (sin(x+y))/(sin(x)cos(y))=1+cot(x)tan(y)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Manipuliere die rechte Seite

1 + cot (x) tan (y)

Drücke mit sin, cos aus

1 + cot (x) tan (y)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} tan (y)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Vereinfache

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Multipliziere

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= 1 + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )} + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{cos ( x ) sin ( y ) + cos ( y ) sin ( x )}{cos ( y ) sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

p ro v e \frac{1}{1 + tan ( x ) tan ( 2 x )} = cos (2 x)

p ro v e (1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

p ro v e arcsec (x) = \frac{1}{sec ( x )}

p ro v e cos (4 x) cos (2 x) = cos^{2} (3 x) - cos^{2} (x)