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受欢迎的三角函数 >

证明 (sin(x+y))/(sin(x)cos(y))=1+cot(x)tan(y)

解答

证明

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

解答

真

求解步骤

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )} = 1 + cot (x) tan (y)

调整左侧

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

使用三角恒等式改写

\frac{sin ( x + y )}{sin ( x ) cos ( y )}

使用角和恒等式:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

调整右侧

1 + cot (x) tan (y)

用 sin, cos 表示

1 + cot (x) tan (y)

使用基本三角恒等式:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} tan (y)

使用基本三角恒等式:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

化简

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

乘

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )} : \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{sin ( y )}{cos ( y )}

分式相乘:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= 1 + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

将项转换为分式:

1 = \frac{1 sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y )}{sin ( x ) cos ( y )} + \frac{cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

乘以:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{sin ( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin ( y )}{sin ( x ) cos ( y )}

= \frac{cos ( x ) sin ( y ) + cos ( y ) sin ( x )}{cos ( y ) sin ( x )}

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sin^2(2x)= 1/2-1/2 cos(4x)

p ro v e sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

证明 1/(1+tan(x)tan(2x))=cos(2x)

p ro v e \frac{1}{1 + tan ( x ) tan ( 2 x )} = cos (2 x)

证明 (1+csc(x))(1-sin(x))=cot(x)cos(x)

p ro v e (1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

证明 arcsec(x)= 1/(sec(x))

p ro v e arcsec (x) = \frac{1}{sec ( x )}

证明 cos(4x)cos(2x)=cos^2(3x)-cos^2(x)

p ro v e cos (4 x) cos (2 x) = cos^{2} (3 x) - cos^{2} (x)