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provar sin^2(2x)= 1/2-1/2 cos(4x)

Solução

provar

sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

Verdadeiro

Passos da solução

sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

Manipular o lado esquerdo

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (4 x)

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 \cdot 2 x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2 sin^{2} (2 x))

Simplificar

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2 sin^{2} (2 x)) : sin^{2} (2 x)

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2 sin^{2} (2 x))

Expandir

- \frac{1}{2} (1 - 2 sin^{2} (2 x)) : - \frac{1}{2} + sin^{2} (2 x)

- \frac{1}{2} (1 - 2 sin^{2} (2 x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - \frac{1}{2}, b = 1, c = 2 sin^{2} (2 x)

= - \frac{1}{2} \cdot 1 - (- \frac{1}{2}) \cdot 2 sin^{2} (2 x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} sin^{2} (2 x)

Simplificar

- 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} sin^{2} (2 x) : - \frac{1}{2} + sin^{2} (2 x)

- 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} sin^{2} (2 x)

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

1 \cdot \frac{1}{2}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

2 \cdot \frac{1}{2} sin^{2} (2 x) = sin^{2} (2 x)

2 \cdot \frac{1}{2} sin^{2} (2 x)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin^{2} (2 x)

Eliminar o fator comum:

2

= sin^{2} (2 x) \cdot 1

Multiplicar:

sin^{2} (2 x) \cdot 1 = sin^{2} (2 x)

= sin^{2} (2 x)

= - \frac{1}{2} + sin^{2} (2 x)

= - \frac{1}{2} + sin^{2} (2 x)

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + sin^{2} (2 x)

Somar elementos similares:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

= sin^{2} (2 x)

= sin^{2} (2 x)

= sin^{2} (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e \frac{1}{1 + tan ( x ) tan ( 2 x )} = cos (2 x)

p ro v e (1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

p ro v e arcsec (x) = \frac{1}{sec ( x )}

p ro v e cos (4 x) cos (2 x) = cos^{2} (3 x) - cos^{2} (x)

p ro v e cos (4 x) - sin (4 x) = 1 - 2 sin (2 x)