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beweisen (cos(θ)+cos(3θ))/(2cos(2θ))=cos(θ)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2 cos ( 2 θ )} = cos (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2 cos ( 2 θ )} = cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2 cos ( 2 θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( θ ) + cos ( 3 θ )}{2 cos ( 2 θ )}

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 cos ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( 2 θ )}

Vereinfache

\frac{2 cos ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( 2 θ )} : cos (θ)

\frac{2 cos ( \frac{θ + 3 θ}{2} ) cos ( \frac{θ - 3 θ}{2} )}{2 cos ( 2 θ )}

2 cos (\frac{θ + 3 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2}) = 2 cos (\frac{4 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 cos (\frac{θ + 3 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2})

Addiere gleiche Elemente:

θ + 3 θ = 4 θ

= 2 cos (\frac{4 θ}{2}) cos (\frac{θ - 3 θ}{2})

\frac{θ - 3 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{θ - 3 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

θ - 3 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 cos (\frac{4 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{2 cos ( \frac{4 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{2 cos ( 2 θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( \frac{4 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{cos ( 2 θ )}

Verwende die negative Winkelidentität:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 θ}{2} ) cos ( \frac{4 θ}{2} )}{cos ( 2 θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( θ ) cos ( \frac{4 θ}{2} )}{cos ( 2 θ )}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{cos ( θ ) cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (27 0^{\circ} + x) = - cos (x)

p ro v e (1 + sin (α)) (1 - sin (α)) = cos^{2} (α)

p ro v e \frac{( tan ^{2} ( x ) )}{sec ( x ) + 1} = \frac{( 1 - cos ( x ) )}{cos ( x )}

p ro v e \frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

p ro v e sin (3 x) = 4 sin (x) \cdot cos^{2} (x) - sin (x)