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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+sin(x))/(1-sin(x))-(1-sin(x))/(1+sin(x))=(4tan(x))/(cos(x))

Lösung

beweisen

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )}

Vereinfache

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} : \frac{4 sin ( x )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} - \frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

1 - sin (x), 1 + sin (x) : (- sin (x) + 1) (sin (x) + 1)

1 - sin (x), 1 + sin (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

1 - sin (x)

oder

1 + sin (x)

auftauchen.

= (- sin (x) + 1) (sin (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(- sin (x) + 1) (sin (x) + 1)

Für

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x) + 1

\frac{1 + sin ( x )}{1 - sin ( x )} = \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Für

\frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (x) + 1

\frac{1 - sin ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{( 1 - sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} - \frac{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ^{2} - ( 1 - sin ( x ) ) ^{2}}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x))^{2} - (1 - sin (x))^{2} : 4 sin (x)

(1 + sin (x))^{2} - (1 - sin (x))^{2}

(1 + sin (x))^{2} : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - sin (x))^{2}

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin (x)) - (sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Vereinfache

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x) : 4 sin (x)

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 1 + 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 2 sin (x) - sin^{2} (x) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

= 2 sin (x) + 2 sin (x) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

2 sin (x) + 2 sin (x) = 4 sin (x)

= 4 sin (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 4 sin (x)

= 4 sin (x)

= \frac{4 sin ( x )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{4 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{4 sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{4 sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{4 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{4}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 tan ( x )}{cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin(3x)=4sin(x)*cos^2(x)-sin(x)

p ro v e sin (3 x) = 4 sin (x) \cdot cos^{2} (x) - sin (x)

beweisen sin(x-(3pi)/2)+sin(pi/2+x)=2cos(x)

p ro v e sin (x - \frac{3 π}{2}) + sin (\frac{π}{2} + x) = 2 cos (x)

beweisen 1/(cos(x)*sin(x))-tan(x)=cot(x)

p ro v e \frac{1}{cos ( x ) \cdot sin ( x )} - tan (x) = cot (x)

beweisen sec^2(x)cot^2(x)=csc^2(x)

p ro v e sec^{2} (x) cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

beweisen cos(θ)=sin(pi/2+θ)

p ro v e cos (θ) = sin (\frac{π}{2} + θ)