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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin^4(x)-1)/(cos^2(x))=cos^2(x)-2

Lösung

beweisen

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = cos^{2} (x) - 2

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )} : - sin^{2} (x) - 1

\frac{sin ^{4} ( x ) - 1}{1 - sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

sin^{4} (x) - 1 : (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{4} (x) - 1

Schreibe

sin^{4} (x) - 1

um:

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

sin^{4} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{4} (x) - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

= (sin^{2} (x))^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x))^{2} - 1^{2} = (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin^{2} (x) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin^{2} (x) + 1) (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Faktorisiere

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Faktorisiere

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

Streiche

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )} : - (sin^{2} (x) + 1)

- \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) + 1

= - \frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ( x ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) - 1

= - (sin^{2} (x) + 1)

= - (sin^{2} (x) + 1)

Negiere die Vorzeichen

- (sin^{2} (x) + 1) = - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

Manipuliere die rechte Seite

cos^{2} (x) - 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) - 2

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x) - 2

Vereinfache

1 - sin^{2} (x) - 2 : - sin^{2} (x) - 1

1 - sin^{2} (x) - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) + 1 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 2 = - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

= - sin^{2} (x) - 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen csc(x)tan(x)= 1/(cos(x))

p ro v e csc (x) tan (x) = \frac{1}{cos ( x )}

beweisen sin(x+y)sin(x-y)=sin(2x)-sin(2y)

p ro v e sin (x + y) sin (x - y) = sin (2 x) - sin (2 y)

beweisen sin((5pi)/6)= 1/2

p ro v e sin (\frac{5 π}{6}) = \frac{1}{2}

beweisen tan(pi/2-θ)=cot(θ)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - θ) = cot (θ)

beweisen sec(2a)=(csc^2(a))/(cot^2(a)-1)

p ro v e sec (2 a) = \frac{csc ^{2} ( a )}{cot ^{2} ( a ) - 1}