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beweisen sin(2α)=(2tan(α))/(1+tan^2(α))

Lösung

beweisen

sin (2 α) = \frac{2 tan ( α )}{1 + tan ^{2} ( α )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (2 α) = \frac{2 tan ( α )}{1 + tan ^{2} ( α )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 tan ( α )}{1 + tan ^{2} ( α )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{2 tan ( α )}{1 + tan ^{2} ( α )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 \cdot \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 \cdot \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}} : \frac{2 sin ( α ) cos ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

\frac{2 \cdot \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}}{1 + ( \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{2 \cdot \frac{s i n ( α )}{c o s ( α )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{sin ( α )}{cos ( α )} : \frac{2 sin ( α )}{cos ( α )}

2 \cdot \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( α ) \cdot 2}{cos ( α )}

= \frac{\frac{2 s i n ( α )}{c o s ( α )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ( α ) \cdot 2}{cos ( α ) ( 1 + \frac{s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )} )}

Füge

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

zusammen:

\frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

1 + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} + \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (α) = cos^{2} (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{2 sin ( α )}{\frac{c o s ^{2} ( α ) + s i n ^{2} ( α )}{c o s ^{2} ( α )} cos ( α )}

Multipliziere

cos (α) \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )} : \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

cos (α) \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α ) ) cos ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (α)

= \frac{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}{cos ( α )}

= \frac{2 sin ( α )}{\frac{c o s ^{2} ( α ) + s i n ^{2} ( α )}{c o s ( α )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( α ) \cdot 2 cos ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= \frac{2 sin ( α ) cos ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

= \frac{2 cos ( α ) sin ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( α ) sin ( α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{sin ( 2 α )}{cos ^{2} ( α ) + sin ^{2} ( α )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ( 2 α )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin (2 α)

= sin (2 α)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) sec (x) csc^{2} (x) - cot^{3} (x) sec (x) = csc (x)

p ro v e csc (t) - sin (t) = cot (t) cos (t)

p ro v e cos (6 0^{\circ}) = 2 cos^{2} (3 0^{\circ}) - 1

p ro v e (sin (t) + cos (t))^{2} = 1 + sin (2 t)

p ro v e cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{sec ( x ) + 1}{2 sec ( x )}