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beweisen (csc^2(θ)-2)/(csc^2(θ))=cos(2θ)

Lösung

beweisen

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )} = cos (2 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )} = cos (2 θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{csc ^{2} ( θ ) - 2}{csc ^{2} ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 2 + csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}} : - 2 sin^{2} (θ) + 1

\frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- 2 + ( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 2 + \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} ) sin ^{2} ( θ )}{1}

Füge

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

- 2 + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{- 2 s i n ^{2} ( θ ) + 1}{s i n ^{2} ( θ )} sin ^{2} ( θ )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{- 2 sin ^{2} ( θ ) + 1}{sin ^{2} ( θ )} sin^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - 2 sin ^{2} ( θ ) + 1 ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= - - 2 sin^{2} (θ) + 1

= - 2 sin^{2} (θ) + 1

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 2 sin^{2} (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 θ)

= cos (2 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (- x) cos (\frac{π}{2} - x) = \frac{cos ( 2 x ) - 1}{2}

p ro v e cos (b) + sin (b) tan (b) = sec (b)

p ro v e 2 sin (2 θ) (1 - 2 sin^{2} (θ)) = sin (4 θ)

p ro v e \frac{( cos ^{2} ( x ) )}{1 - sin ( x )} = 1 + sin (x)

p ro v e sin (3 x) = sin (x) (3 - 4 sin^{2} (x))