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beweisen 1-(tan(θ)cos(θ))/(csc(θ))=cos^2(θ)

Lösung

beweisen

1 - \frac{tan ( θ ) cos ( θ )}{csc ( θ )} = cos^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

1 - \frac{tan ( θ ) cos ( θ )}{csc ( θ )} = cos^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

1 - \frac{tan ( θ ) cos ( θ )}{csc ( θ )}

Drücke mit sin, cos aus

1 - \frac{cos ( θ ) tan ( θ )}{csc ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 - \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{csc ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= 1 - \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{1}{s i n ( θ )}}

Vereinfache

1 - \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{1}{s i n ( θ )}} : 1 - sin^{2} (θ)

1 - \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{1}{s i n ( θ )}}

\frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{1}{s i n ( θ )}} = sin^{2} (θ)

\frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )}}{\frac{1}{s i n ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( θ ) \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} sin ( θ )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} sin (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

= 1 - sin^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot^{6} (x) = cot^{4} (x) csc^{2} (x) - cot^{4} (x)

p ro v e 1 + csc (a) = csc (a) (1 + sin (a))

p ro v e \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ^{2} ( x )} = 2 cot^{2} (x)

p ro v e tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{csc ( θ )}{sin ( θ )} = csc^{2} (θ)