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beweisen tan(θ)+cot(θ)= 2/(sin(2θ))

Lösung

beweisen

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (θ) + cot (θ) = \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Manipuliere die linke Seite

tan (θ) + cot (θ)

Drücke mit sin, cos aus

cot (θ) + tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (θ), cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (θ)

oder

cos (θ)

auftauchen.

= sin (θ) cos (θ)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (θ) cos (θ)

Für

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Für

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{\frac{s i n ( 2 θ )}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) ) \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{sin ( 2 θ )}

Vereinfache

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

= \frac{2}{sin ( 2 θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{csc ( θ )}{sin ( θ )} = csc^{2} (θ)

p ro v e 2 sin (2 x) = 4 sin (x) cos (x)

p ro v e \frac{1 - sin ( x )}{sec ( x )} = \frac{cos ^{3} ( x )}{1 + sin ( x )}

p ro v e cos (2 α) = - 1 + \frac{2}{1 + tan ^{2} ( α )}

p ro v e (1 + sec (x)) (csc (x) - cot (x)) = tan (x)