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provar 1+(cos^2(x))/(sin(x)-1)=-sin(x)

Solução

provar

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} = - sin (x)

Verdadeiro

Passos da solução

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} = - sin (x)

Manipular o lado direito

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1}

Simplificar

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} : - sin (x)

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1}

Cancelar

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} : - sin (x) - 1

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1}

Fatorar

1 - sin^{2} (x) : - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

1 - sin^{2} (x)

Fatorar o termo comum

- 1

= - (sin^{2} (x) - 1)

Fatorar

sin^{2} (x) - 1 : (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

sin^{2} (x) - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= sin^{2} (x) - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

sin^{2} (x) - 1^{2} = (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - (sin (x) + 1) (sin (x) - 1)

= - \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) - 1 )}{sin ( x ) - 1}

Eliminar o fator comum:

sin (x) - 1

= - (sin (x) + 1)

Inverter o sinal de

- (sin (x) + 1) = - sin (x) - 1

= - sin (x) - 1

= 1 + (- sin (x) - 1)

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= 1 - sin (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= - sin (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= - sin (x)

= - sin (x)

= - sin (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (3 x) = 3 cos^{2} (x) sin (x) - sin^{3} (x)

p ro v e cos (3 x) + cos (x) = 4 cos^{3} (x) - 2 cos (x)

p ro v e \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

p ro v e \frac{cot ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} = csc (2 θ)

p ro v e cos^{3} (θ) + cos (θ) sin^{2} (θ) = cos (θ)