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beweisen 1/(cos(θ))-cos(θ)=sin(θ)tan(θ)

Lösung

beweisen

\frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ) = sin (θ) tan (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ) = sin (θ) tan (θ)

Manipuliere die rechte Seite

sin (θ) tan (θ)

Drücke mit sin, cos aus

sin (θ) tan (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Vereinfache

sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ)

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche

\frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )} : cos (θ)

\frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ)

= cos (θ)

= \frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ)

= - cos (θ) + \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 + tan^{2} (3 0^{\circ}) = sec^{2} (3 0^{\circ})

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} - tan (θ) = sec (θ)

p ro v e sin^{2} (θ) sec (θ) csc (θ) = tan (θ)

p ro v e csc (x) (cos (x) + sin (x)) = cot (x) + 1

p ro v e cos^{2} (x) + cos^{2} (x) cot^{2} (x) = cot^{2} (x)