English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+cot^2(θ))tan^2(θ)=sec^2(θ)

Lösung

beweisen

(1 + cot^{2} (θ)) tan^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + cot^{2} (θ)) tan^{2} (θ) = sec^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

(1 + cot^{2} (θ)) tan^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

(1 + cot^{2} (θ)) tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) tan^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Vereinfache

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(1 + (\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )})^{2}) (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1)

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} (\frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) ( 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} )}{cos ^{2} ( θ )}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ ) + c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere

sin^{2} (θ) \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

sin^{2} (θ) \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ)

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cot(θ)=sec(θ)csc(θ)-tan(θ)

p ro v e cot (θ) = sec (θ) csc (θ) - tan (θ)

beweisen sin^2(β)csc^2(β)-sin^2(β)=cos^2(β)

p ro v e sin^{2} (β) csc^{2} (β) - sin^{2} (β) = cos^{2} (β)

beweisen cot^2(a)-cos^2(a)=cot^2(a)cos^2(a)

p ro v e cot^{2} (a) - cos^{2} (a) = cot^{2} (a) cos^{2} (a)

beweisen cos^2(θ)(sec^2(θ)-1)=sin^2(θ)

p ro v e cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

beweisen cot^2(y)sec^2(y)=1+cot^2(y)

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)