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人気のある三角関数 >

証明する cos^2(θ)(sec^2(θ)-1)=sin^2(θ)

解

証明する

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

解

真

解答ステップ

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

左側を操作する

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1)

サイン, コサインで表わす

(- 1 + sec^{2} (θ)) cos^{2} (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

簡素化

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ) : - cos^{2} (θ) + 1

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1)

結合

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

共通因数を約分する:

cos^{2} (θ)

= - - cos^{2} (θ) + 1

= - cos^{2} (θ) + 1

= 1 - cos^{2} (θ)

三角関数の公式を使用して書き換える

1 - cos^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cot^2(y)sec^2(y)=1+cot^2(y)

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)

証明する csc(θ)-cot(θ)*cos(θ)=sin(θ)

p ro v e csc (θ) - cot (θ) \cdot cos (θ) = sin (θ)

証明する 1/(cos(x))=sec(x)

p ro v e \frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

証明する 1/(1+cos(θ))+1/(1-cos(θ))=2csc^2(θ)

p ro v e \frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

証明する sin(a+b)-sin(a-b)=2cos(a)sin(b)

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos (a) sin (b)