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beweisen cos^2(θ)(sec^2(θ)-1)=sin^2(θ)

Lösung

beweisen

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1) = sin^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

cos^{2} (θ) (sec^{2} (θ) - 1)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (θ)) cos^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ) : - cos^{2} (θ) + 1

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) cos^{2} (θ)

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= cos^{2} (θ) (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1)

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} cos^{2} (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (θ)

= - - cos^{2} (θ) + 1

= - cos^{2} (θ) + 1

= 1 - cos^{2} (θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot^{2} (y) sec^{2} (y) = 1 + cot^{2} (y)

p ro v e csc (θ) - cot (θ) \cdot cos (θ) = sin (θ)

p ro v e \frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

p ro v e \frac{1}{1 + cos ( θ )} + \frac{1}{1 - cos ( θ )} = 2 csc^{2} (θ)

p ro v e sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos (a) sin (b)