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人気のある三角関数 >

証明する 1/(1+sin(x))+1/(1-sin(x))=2+2tan^2(x)

解

証明する

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

解

真

解答ステップ

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} = 2 + 2 tan^{2} (x)

左側を操作する

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

簡素化

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )} : \frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{1 - sin ( x )}

以下の最小公倍数:

1 + sin (x), 1 - sin (x) : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

1 + sin (x), 1 - sin (x)

最小公倍数 (LCM)

1 + sin (x)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 - sin (x)

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

\frac{1}{1 + sin ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

- sin (x) + 1

\frac{1}{1 + sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( - sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) ( - sin ( x ) + 1 )} = \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{1}{1 - sin ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (x) + 1

\frac{1}{1 - sin ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 - sin ( x ) ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ( x ) + 1 + sin ( x ) + 1}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1 = 2

- sin (x) + 1 + sin (x) + 1

条件のようなグループ

= - sin (x) + sin (x) + 1 + 1

類似した元を足す:

- sin (x) + sin (x) = 0

= 1 + 1

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{2}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

拡張

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2}{1 - sin ^{2} ( x )}

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

右側を操作する

2 + 2 tan^{2} (x)

因数

2 + 2 tan^{2} (x) : 2 (1 + tan^{2} (x))

2 + 2 tan^{2} (x)

書き換え

= 2 \cdot 1 + 2 tan^{2} (x)

共通項をくくり出す

2

= 2 (1 + tan^{2} (x))

= (1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

サイン, コサインで表わす

(1 + tan^{2} (x)) \cdot 2

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

簡素化

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2 : \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

(1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}) \cdot 2

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 2 (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 1)

結合

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2 ( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{( cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) ) \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1 \cdot 2}{cos ^{2} ( x )}

簡素化

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{2}{cos ^{2} ( x )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する sec(2x)=(sec^2(x))/(1-tan^2(x))

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

証明する (sin(3x)-sin(5x))/(2cos(4x))=-sin(x)

p ro v e \frac{sin ( 3 x ) - sin ( 5 x )}{2 cos ( 4 x )} = - sin (x)

証明する tan(a)+cot(a)=2csc(2a)

p ro v e tan (a) + cot (a) = 2 csc (2 a)

証明する (sec(t)-1)/(tan(t))=(tan(t))/(sec(t)+1)

p ro v e \frac{sec ( t ) - 1}{tan ( t )} = \frac{tan ( t )}{sec ( t ) + 1}

証明する 3cos^2(x)-3sin^2(x)=3-6sin^2(x)

p ro v e 3 cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = 3 - 6 sin^{2} (x)