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Populaire Trigonométrie >

prouver sec(2θ)=(sec^2(θ)csc^2(θ))/(csc^2(θ)-sec^2(θ))

Solution

prouver

sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ ) - sec ^{2} ( θ )}

Solution

vrai

étapes des solutions

sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ ) - sec ^{2} ( θ )}

En manipulant le côté droit

\frac{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ ) - sec ^{2} ( θ )}

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{csc ^{2} ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ ) - sec ^{2} ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} sec ^{2} ( θ )}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} - sec ^{2} ( θ )}

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

Simplifier

\frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}} : \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

\frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{s i n ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( θ )} ) ^{2} \frac{1}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} - \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}

Relier

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Plus petit commun multiple de

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin^{2} (θ)

ou dans

cos^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Pour

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Pour

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ ) c o s ^{2} ( θ )}}

Multiplier

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Multiplier des fractions:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{1}{s i n ^{2} ( θ ) c o s ^{2} ( θ )}}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ ) c o s ^{2} ( θ )}}

Diviser des fractions:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) )}

Redéfinir

= \frac{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) )}

Annuler le facteur commun :

sin^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) ( cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ ) )}

Annuler le facteur commun :

cos^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{1}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

Utiliser l'identité d'angle double:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

= \frac{1}{cos ( 2 θ )}

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Simplifier

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 θ )}}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 θ )}{1}

Appliquer la règle

\frac{a}{1} = a

= sec (2 θ)

sec (2 θ)

sec (2 θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver 1/(1-sin(r))=sec^2(r)+sec(r)tan(r)

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( r )} = sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

prouver 1/(sec(x))=sec(x)-tan(x)sin(x)

p ro v e \frac{1}{sec ( x )} = sec (x) - tan (x) sin (x)

prouver sin(a+b)sin(a-b)=sin^2(b)-sin^2(a)

p ro v e sin (a + b) sin (a - b) = sin^{2} (b) - sin^{2} (a)

prouver sec(b)+tan(b)=(cos(b))/(1-sin(b))

p ro v e sec (b) + tan (b) = \frac{cos ( b )}{1 - sin ( b )}

prouver cot^4(x)+cot^2(x)=csc^4(x)-csc^2(x)

p ro v e cot^{4} (x) + cot^{2} (x) = csc^{4} (x) - csc^{2} (x)