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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(2x)-tan(x)=tan(x)sec(2x)

Lösung

beweisen

tan (2 x) - tan (x) = tan (x) sec (2 x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (2 x) - tan (x) = tan (x) sec (2 x)

Manipuliere die linke Seite

tan (2 x) - tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

tan (2 x) - tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( 2 x ) cos ( x ) - sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos (2 x), cos (x) : cos (2 x) cos (x)

cos (2 x), cos (x)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos (2 x)

oder

cos (x)

auftauchen.

= cos (2 x) cos (x)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

cos (2 x) cos (x)

Für

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (x)

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = \frac{sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Für

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (2 x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) cos ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} - \frac{sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) cos ( x ) - sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x ) cos ( x ) - sin ( x ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{- cos ( 2 x ) sin ( x ) + cos ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Schreibe um

= sin (2 x) cos (x) - cos (2 x) sin (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 x) cos (x) - cos (2 x) sin (x)

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t) = sin (s - t)

= \frac{sin ( 2 x - x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Addiere gleiche Elemente:

2 x - x = x

= \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

tan (x) sec (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

sec (2 x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )} tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( 2 x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

\frac{1}{cos ( 2 x )} \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen cos(2a)=2cos^2(a)-1

p ro v e cos (2 a) = 2 cos^{2} (a) - 1

beweisen 1+sec(x)=(cos(x)+1)/(cos(x))

p ro v e 1 + sec (x) = \frac{cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

beweisen sec(2θ)=(sec^2(θ)csc^2(θ))/(csc^2(θ)-sec^2(θ))

p ro v e sec (2 θ) = \frac{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}{csc ^{2} ( θ ) - sec ^{2} ( θ )}

beweisen 1/(1-sin(r))=sec^2(r)+sec(r)tan(r)

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( r )} = sec^{2} (r) + sec (r) tan (r)

beweisen 1/(sec(x))=sec(x)-tan(x)sin(x)

p ro v e \frac{1}{sec ( x )} = sec (x) - tan (x) sin (x)