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dimostrare (tan(x)+sec(x))(1-sin(x))=cos(x)

Soluzione

dimostrare

(tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

(tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x)) = cos (x)

Manipolando il lato sinistro

(tan (x) + sec (x)) (1 - sin (x))

Esprimere con sen e cos

(1 - sin (x)) (sec (x) + tan (x))

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 - sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} + tan (x))

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 - sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Semplifica

(1 - sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) : \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

(1 - sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Semplifica

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} (- sin (x) + 1)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

Espandi

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= cos (x)

= cos (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

p ro v e \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )} = \frac{cot ( θ ) - 1}{cot ( θ ) + 1}

p ro v e cot (θ) sin (θ) cos (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) = \frac{1}{sin ( θ )}