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dimostrare (csc^4(x)-1)/(cot^2(x))=csc^2(x)+1

Soluzione

dimostrare

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

Vero

Fasi della soluzione

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )} = csc^{2} (x) + 1

Manipolando il lato sinistro

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x ) - 1}

Semplifica

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x ) - 1} : csc^{2} (x) + 1

\frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{csc ^{2} ( x ) - 1}

Fattorizza

csc^{4} (x) - 1 : (csc^{2} (x) + 1) (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

csc^{4} (x) - 1

Riscrivi

csc^{4} (x) - 1

come

(csc^{2} (x))^{2} - 1^{2}

csc^{4} (x) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= csc^{4} (x) - 1^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

csc^{4} (x) = (csc^{2} (x))^{2}

= (csc^{2} (x))^{2} - 1^{2}

= (csc^{2} (x))^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(csc^{2} (x))^{2} - 1^{2} = (csc^{2} (x) + 1) (csc^{2} (x) - 1)

= (csc^{2} (x) + 1) (csc^{2} (x) - 1)

Fattorizza

csc^{2} (x) - 1 : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

csc^{2} (x) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc^{2} (x) + 1) (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= \frac{( csc ^{2} ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{csc ^{2} ( x ) - 1}

Fattorizza

csc^{2} (x) - 1 : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

csc^{2} (x) - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= \frac{( csc ^{2} ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}

Cancellare

\frac{( csc ^{2} ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )} : csc^{2} (x) + 1

\frac{( csc ^{2} ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}

Cancella il fattore comune:

csc (x) + 1

= \frac{( csc ^{2} ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{csc ( x ) - 1}

Cancella il fattore comune:

csc (x) - 1

= csc^{2} (x) + 1

= csc^{2} (x) + 1

= csc^{2} (x) + 1

= csc^{2} (x) + 1

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (θ) + cos (θ) = 2 sin (θ + 4 5^{\circ})

p ro v e \frac{1 - tan ( θ )}{1 + tan ( θ )} = \frac{cot ( θ ) - 1}{cot ( θ ) + 1}

p ro v e cot (θ) sin (θ) cos (θ) = 1 - sin^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) = \frac{1}{sin ( θ )}

p ro v e \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ) = cot (θ) cos (θ)