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beweisen tan(θ/2)=(sin(θ))/(1+cos(θ))

Lösung

beweisen

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Angenommen:

u = \frac{θ}{2}

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Beweise

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )} :

Wahr

tan (u) = \frac{sin ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{sin ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 u )}{1 + cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 + cos ( 2 u )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

Vereinfache

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1}

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 = 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 sin ( u ) cos ( u )}{2 cos ^{2} ( u )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( u ) cos ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Deshalb

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (\frac{3 π}{2} - x) = - cos (x)

p ro v e sin (x) sec (x) = \frac{1}{cot ( x )}

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} = sin^{2} (x)

p ro v e \frac{sec ( x )}{1 - cos ( x )} = \frac{sec ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

p ro v e tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}